Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=y \\\ \dot{y}=-4 x+4 y\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\dot x = y,
\dot y = -4x + 4y.
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear de ordem 1 com coeficientes constantes. Vamos usar o método de desacoplamento: escrevemos y como x' e obtemos uma EDO de segunda ordem para x.

Passo 2

Como \dot x = y, temos
\ddot x = \dot y.
Pela segunda equação do sistema,
\ddot x = -4x + 4y = -4x + 4\dot x.
Logo, x(t) satisfaz a EDO
\ddot x - 4\dot x + 4x = 0.

Passo 3

A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0,
cuja única raiz dupla é r=2. Para uma raiz dupla, a solução geral de x(t) é
x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para obter y(t), lembramos que y = \dot x. Calculamos
\dot x = \frac{d}{dt}\Bigl[(C_1 + C_2\,t)e^{2t}\Bigr] = C_2 e^{2t} + (C_1 + C_2\,t)\,2e^{2t} = e^{2t}\bigl(2C_1 + C_2 + 2C_2\,t\bigr).

Passo 5

Portanto, a solução geral do sistema é
x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{2t},\qquad y(t) = e^{2t}\bigl(2C_1 + C_2 + 2C_2\,t\bigr),
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.

Resposta

x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{2t},\quad y(t) = \bigl(2C_1 + C_2 + 2C_2\,t\bigr)e^{2t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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