Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=2 x \\\ \dot{y}=x-y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares
\begin{cases} \dot{x} = 2x,\\\ \dot{y} = x - y. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares em cascata: primeiro resolvemos a equação em x, depois usamos esse resultado para resolver a equação em y.

Passo 2

Resolvendo \dot{x}=2x, trata-se de uma equação de variável separável ou de coeficientes constantes. A solução geral é
x(t) = C_{1}e^{2t},
onde C_{1} é constante arbitrária.

Passo 3

Agora usamos x(t)=C_{1}e^{2t} na segunda equação:
\dot{y} = x - y \quad\Longrightarrow\quad \dot{y} + y = C_{1}e^{2t}.
Isso é uma equação linear de primeira ordem em y.

Passo 4

O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int 1\,dt} = e^{t}.
Multiplicando a equação por \mu(t) temos
e^{t}\dot{y} + e^{t}y = C_{1}e^{3t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t}\bigr) = C_{1}e^{3t}.
Integrando ambos os lados em relação a t,
y\,e^{t} = \int C_{1}e^{3t}\,dt = \frac{C_{1}}{3}e^{3t} + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Portanto,
y(t) = \frac{C_{1}}{3}e^{2t} + C_{2}e^{-t}.

Resposta

x(t) = C_{1}e^{2t},\quad y(t) = \dfrac{C_{1}}{3}e^{2t} + C_{2}e^{-t}.

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