As trajetórias são elipses? Justifique o sistema:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em
e pergunta se as trajetórias são elipses. O conteúdo é teoria de sistemas lineares
via autovalores e, em seguida, buscar uma forma quadrática conservada, cuja nível zero definirá as órbitas.
Passo 2
Escrevemos em forma matricial
, com
O polinômio característico de
é
Logo
implica
. Autovalores puramente imaginários indicam um centro no ponto
, com órbitas fechadas.
Passo 3
Para ver a forma das órbitas, buscamos uma forma quadrática
onde
é simétrica e satisfaz
Seja
Calcula-se
e obtém-se as condições
Tomando
para simplificar, ficamos com
e
Então
portanto
é constante ao longo de cada solução.
Passo 4
O nível
, com
, é o conjunto
Como o discriminante da forma quadrática é
a forma é definida positiva, e suas curvas de nível são elipses centradas na origem.
Resposta
Sim. As trajetórias são elipses, pois o sistema tem autovalores
(centro) e admite a integral de primeira
, cujos níveis
são elipses.