As trajetórias são elipses? Justifique o sistema:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x+2 y \\\ \dot{y}=-x-y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em (x,y)\) \r \[\begin{cases} \dot x = x + 2y,\\\ \dot y = -x - y, \end{cases}
e pergunta se as trajetórias são elipses. O conteúdo é teoria de sistemas lineares 2\times 2\]: vamos classificar o ponto de equilíbrio em \((0,0) via autovalores e, em seguida, buscar uma forma quadrática conservada, cuja nível zero definirá as órbitas.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial \dot{\mathbf z}=A\mathbf z, com
\mathbf z=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}1 & 2\\\\ -1 & -1\end{pmatrix}.
O polinômio característico de A é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix}1-\lambda&2\\\ -1&-1-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(-1-\lambda)-2(-1) =\lambda^2+1.
Logo \lambda^2+1=0 implica \lambda=\pm i. Autovalores puramente imaginários indicam um centro no ponto (0,0), com órbitas fechadas.

Passo 3

Para ver a forma das órbitas, buscamos uma forma quadrática
V(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \!P\!\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
onde P é simétrica e satisfaz
A^T P + P\,A = 0.
Seja
P = \begin{pmatrix}a&b\b&c\end{pmatrix}.
Calcula-se A^T P + P A=0 e obtém-se as condições
a=b,\quad c=2a,\quad 2b=c\quad\Longrightarrow\quad b=a,\;c=2a.
Tomando a=1 para simplificar, ficamos com
P=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&2\end{pmatrix},
e
V(x,y)=x^2+2xy+2y^2.
Então
\frac{dV}{dt} =\nabla V\cdot\dot{\mathbf z} =(2x+2y)(x+2y)+(2x+4y)(-x-y)=0,
portanto V é constante ao longo de cada solução.

Passo 4

O nível V(x,y)=C, com C>0, é o conjunto
x^2+2xy+2y^2=C.
Como o discriminante da forma quadrática é
\Delta = (2)^2 - 4\cdot1\cdot2 =4-8=-4<0,
a forma é definida positiva, e suas curvas de nível são elipses centradas na origem.

Resposta

Sim. As trajetórias são elipses, pois o sistema tem autovalores \pm i (centro) e admite a integral de primeira V(x,y)=x^2+2xy+2y^2, cujos níveis V=C são elipses.

Exercícios relacionados