Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=-y+2 z \\\ \dot{y}=-x+y+z \\\ \dot{z}=-x-y+3 z .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear de equações diferenciais
\dot{x} = -y + 2z,\quad \dot{y} = -x + y + z,\quad \dot{z} = -x - y + 3z.
Vamos escrever em forma matricial \dot{\mathbf{x}} = A\,\mathbf{x} e usar autovalores e autovetores (e, se necessário, vetores generalizados) para montar a solução geral.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\[6pt] -1 & 1 & 1 \\[6pt] -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
O polinômio característico obtém-se de \det(A - \lambda I)=0. Calculando, chega-se a
\det\!\begin{pmatrix} -\lambda & -1 & 2\\\\ -1 & 1-\lambda & 1\\\\ -1 & -1 & 3-\lambda \end{pmatrix} = \lambda^3 - 4\lambda^2 + 5\lambda - 2.]

Passo 3

Resolvendo
\lambda^3 - 4\lambda^2 + 5\lambda - 2 = 0
vemos que \lambda=1 é raiz dupla e \lambda=2 é raiz simples. Fatorando,
\lambda^3 - 4\lambda^2 + 5\lambda - 2 = (\lambda - 1)^2(\lambda - 2).

Passo 4

Para \lambda=1 resolvemos (A - I)v = 0:
(A - I)=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 2\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Como a multiplicidade geométrica é 1 mas a algébrica é 2, buscamos w tal que (A - I)w = v_1. Uma escolha é
w = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
pois de fato (A - I)w = v_1.
Para \lambda=2 resolvemos (A - 2I)v=0:
(A - 2I)=\begin{pmatrix} -2 & -1 & 2\\\\ -1 & -1 & 1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

As três soluções fundamentais são
e^{t}v_1,\quad e^{t}\bigl(w + t\,v_1\bigr)=e^{t}\begin{pmatrix}-1 + t\t\t\end{pmatrix},\quad e^{2t}v_2.
Logo a solução geral é a combinação linear
\mathbf{x}(t) = c_{1}e^{t}\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + c_{2}e^{t}\begin{pmatrix}-1 + t\t\t\end{pmatrix} + c_{3}e^{2t}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

\displaystyle \begin{cases} x(t) = e^{t}\bigl(c_{1} + c_{2}(t-1)\bigr) + c_{3}e^{2t},\\[6pt] y(t) = e^{t}\bigl(c_{1} + c_{2}t\bigr),\\[6pt] z(t) = e^{t}\bigl(c_{1} + c_{2}t\bigr) + c_{3}e^{2t}, \end{cases}
onde c_{1},c_{2},c_{3} são constantes arbitrárias.]

Exercícios relacionados