9- Resolva o sistema \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=-y+3 t \\\ \frac{d y}{d t}=4 x+2 t\end{array}\right. dadas as condições iniciais x(0)=1, y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear não homógeneo
\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -\,y + 3\,t,\\\ \frac{dy}{dt} = 4\,x + 2\,t, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=1 e y(0)=2.
O método que vamos usar é o de desacoplamento: expressar y em função de x' e depois obter uma equação de segunda ordem em x.

Passo 2

Da primeira equação temos
y = -\,\frac{dx}{dt} + 3\,t.
Diferenciando em relação a t,
\frac{dy}{dt} = -\frac{d^2x}{dt^2} + 3.

Passo 3

Como também vale \frac{dy}{dt} = 4\,x + 2\,t, igualamos as duas expressões:
-\frac{d^2x}{dt^2} + 3 = 4\,x + 2\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{d^2x}{dt^2} + 4\,x = 3 - 2\,t.

Passo 4

Resolvendo a parte homogênea \displaystyle x'' + 4x = 0, a solução é
x_h(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t).

Passo 5

Buscamos uma solução particular da forma x_p(t)=\alpha\,t + \beta.
Então x_p''=0 e na equação fica
4(\alpha\,t + \beta) = 3 - 2\,t \quad\Longrightarrow\quad 4\alpha = -2,\quad 4\beta = 3
logo \alpha = -\tfrac12 e \beta = \tfrac34. Assim
x_p(t) = -\frac{t}{2} + \frac{3}{4}.

Passo 6

A solução geral para x(t) é
x(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t) \;-\;\frac{t}{2} + \frac{3}{4}.

Passo 7

Voltando a y, temos
y = -\,x' + 3\,t.
Calculando
x'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t) - \tfrac12,
logo
y(t)=2A\sin(2t)-2B\cos(2t)+\tfrac12+3t.

Passo 8

Impondo x(0)=1 e y(0)=2:
em t=0
x(0)=A + \tfrac34 = 1 \;\Longrightarrow\;A=\tfrac14,
y(0) = -2B + \tfrac12 = 2 \;\Longrightarrow\;-2B = \tfrac32 \;\Longrightarrow\;B=-\tfrac34.

Resposta

\boxed{ x(t) = \frac{1}{4}\cos(2t)\;-\;\frac{3}{4}\sin(2t)\;-\;\frac{t}{2} \;+\;\frac{3}{4}, }
\boxed{ y(t) = \frac{1}{2}\sin(2t)\;+\;\frac{3}{2}\cos(2t)\;+\;3t\;+\;\frac12. }

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