Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado: y^{\prime \prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0;y(\pi)=0, y^{\prime}(\pi)=0, y^{\prime \prime}(\pi)=1, y^{\prime \prime \prime}(\pi)=0 ;;y_{1}(x)=1, y_{2}(x)=x, y_{3}(x)=\operatorname{sen} x, y_{4}(x)= \cos x.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as funções \,y_{1}(x)=1,\;y_{2}(x)=x,\;y_{3}(x)=\sin x,\;y_{4}(x)=\cos x
formam um conjunto fundamental de soluções da EDO
y'''' + y'' = 0
e depois usar isso para escrever a solução geral e resolver o PVI
O conteúdo é EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes.
Passo 2
Formamos a equação característica associada à EDO:
r^{4} + r^{2} = 0
Podemos fatorar como
r^{2}(r^{2}+1)=0
Logo as raízes são
r=0\quad(\text{dupla}),\qquad r=\pm i.
Passo 3
Pelas raízes r=0 de multiplicidade 2 temos as soluções independentes 1 e x. Pelas raízes r=\pm i temos as soluções \cos x e \sin x. Portanto a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\,x + C_{3}\,\sin x + C_{4}\,\cos x.
Passo 4
Como as quatro funções 1,\;x,\;\sin x,\;\cos x vêm de raízes distintas (contando multiplicidade) da equação característica e são linearmente independentes, elas formam um conjunto fundamental de soluções. Logo nossa solução geral está corretamente expressa acima.
Passo 5
Para aplicar as condições em x=\pi\) calculamos as derivadas:
\[y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}\sin x+C_{4}\cos x,