Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
y^{\prime \prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0; y(\pi)=0, y^{\prime}(\pi)=0, y^{\prime \prime}(\pi)=1, y^{\prime \prime \prime}(\pi)=0 ;; y_{1}(x)=1, y_{2}(x)=x, y_{3}(x)=\operatorname{sen} x, y_{4}(x)= \cos x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as funções \,y_{1}(x)=1,\;y_{2}(x)=x,\;y_{3}(x)=\sin x,\;y_{4}(x)=\cos x
formam um conjunto fundamental de soluções da EDO
y'''' + y'' = 0
e depois usar isso para escrever a solução geral e resolver o PVI
y(\pi)=0,\quad y'(\pi)=0,\quad y''(\pi)=1,\quad y'''(\pi)=0.
O conteúdo é EDO linear de ordem 4 com coeficientes constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^{4} + r^{2} = 0
Podemos fatorar como
r^{2}(r^{2}+1)=0
Logo as raízes são
r=0\quad(\text{dupla}),\qquad r=\pm i.

Passo 3

Pelas raízes r=0 de multiplicidade 2 temos as soluções independentes 1 e x. Pelas raízes r=\pm i temos as soluções \cos x e \sin x. Portanto a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\,x + C_{3}\,\sin x + C_{4}\,\cos x.

Passo 4

Como as quatro funções 1,\;x,\;\sin x,\;\cos x vêm de raízes distintas (contando multiplicidade) da equação característica e são linearmente independentes, elas formam um conjunto fundamental de soluções. Logo nossa solução geral está corretamente expressa acima.

Passo 5

Para aplicar as condições em x=\pi\) calculamos as derivadas: \[y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}\sin x+C_{4}\cos x,
y'(x)=C_{2}+C_{3}\cos x - C_{4}\sin x,
y''(x)=-C_{3}\sin x - C_{4}\cos x,
y'''(x)=-C_{3}\cos x + C_{4}\sin x.
Agora impomos
y(\pi)=0,\quad y'(\pi)=0,\quad y''(\pi)=1,\quad y'''(\pi)=0,
ou seja
\begin{cases} C_{1} + C_{2}\,\pi + C_{3}\,\sin\pi + C_{4}\,\cos\pi = 0,\\\ C_{2} + C_{3}\,\cos\pi - C_{4}\,\sin\pi = 0,\\\\ -\,C_{3}\,\sin\pi - C_{4}\,\cos\pi = 1,\\\\ -\,C_{3}\,\cos\pi + C_{4}\,\sin\pi = 0. \end{cases}
Como \sin\pi=0\], \(\cos\pi=-1, isso simplifica para
\begin{cases} C_{1} + \pi C_{2} - C_{4} = 0,\\\ C_{2} - C_{3} = 0,\\\\ -(-1)C_{4} = 1,\\\\ -(-1)C_{3} = 0. \end{cases}

Passo 6

Do terceiro e quarto temos
C_{4}=1,\qquad C_{3}=0.
Do segundo C_{2}-0=0 segue C_{2}=0. Finalmente o primeiro dá
C_{1} + \pi\cdot 0 - 1 = 0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.

Resposta

A solução do PVI é
\boxed{y(x)=1 + \cos x.}

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