Questão 1: ( 2,5 pontos) Determine o campo vetorial gradiente \nabla f das seguintes funções:
f(x, y)=3 x^{2}+2 y^{3};

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar o campo vetorial gradiente \nabla f da função
f(x,y)=3x^{2}+2y^{3}.
O conteúdo que vamos usar é a definição de gradiente:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr),
ou seja, basta calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

Para achar as derivadas parciais, aplicamos a regra do poder e lembramos que, ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}+2y^{3}\bigr) =6x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}+2y^{3}\bigr) =6y^{2}.

Passo 3

Agora é só juntar esses resultados na forma de vetor para obter o gradiente:
\nabla f(x,y) =\bigl(6x,\;6y^{2}\bigr).

Resposta

\nabla f(x,y)=(6x,\,6y^{2}).

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