Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de escalonamento (Eliminação de Gauss).
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\ x-2 y+3 z=6 \\ 2 x+y-z=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + y + z = 6,\\\ x - 2y + 3z = 6,\\\\ 2x + y - z = 3 \end{cases}
usando o método de escalonamento (Eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares até obter uma forma triangular, seguida de retro-substituição.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada do sistema, onde cada linha corresponde a uma equação e a última coluna é o vetor de termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 1 & -2 & 3 & 6\\\\ 2 & 1 & -1 & 3 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos o coeficiente de x em baixo do pivô da primeira coluna.
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1

Passo 4

Após essas operações, a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & -3 & -9 \end{array}\right]

Passo 5

Para evitar frações imediatas, escalonamos a terceira linha por 3:
R_3 \leftarrow 3R_3
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & -3 & -9 & -27 \end{array}\right]

Passo 6

Eliminamos o coeficiente de y na terceira linha usando a segunda linha:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2
ficando a matriz triangular superior
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -3 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & -11 & -27 \end{array}\right]

Passo 7

Agora fazemos retro-substituição começando pela última equação, que é
-11\,z = -27.
Logo
z = \frac{-27}{-11} = \frac{27}{11}.

Passo 8

Substituímos z na segunda equação escalonada, que é
-3\,y + 2\,z = 0.
Temos
-3\,y = -2\,z \quad\Rightarrow\quad y = \frac{2}{3}\,z = \frac{2}{3}\cdot\frac{27}{11} = \frac{54}{33} = \frac{18}{11}.

Passo 9

Por fim, substituímos y e z na primeira equação
x + y + z = 6
para encontrar x:
x = 6 - y - z = 6 - \frac{18}{11} - \frac{27}{11} = \frac{66}{11} - \frac{45}{11} = \frac{21}{11}.

Resposta

(x,y,z) = \Bigl(\tfrac{21}{11},\,\tfrac{18}{11},\,\tfrac{27}{11}\Bigr).

Exercícios relacionados