Resolva o sistema linear por escalonamento:
\left\{\begin{array}{l} x+2 y=4 \\\\ 3 x-y=5 \end{array}\right.

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} x+2y=4,\\[4pt] 3x-y=5. \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar os valores de x e y que satisfazem simultaneamente as duas equações. As informações relevantes são exatamente as duas equações acima.]

Passo 2

O método escolhido é o escalonamento (eliminação de Gauss). Vou explicar rapidinho o que isso significa: transformamos o sistema numa forma triangular (escalonada) usando operações elementares nas linhas, que não mudam a solução do sistema. Operações permitidas:
  • trocar duas equações de lugar;
  • multiplicar uma equação por um número não nulo;
  • somar a uma equação um múltiplo de outra.
Depois de deixar o sistema escalonado, resolvemos por substituição (back-substitution).

Passo 3

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes):
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 4\\[4pt] 3 & -1 & 5 \end{array}\right).
Aqui a primeira coluna é o coeficiente de x, a segunda coluna é o coeficiente de y e a coluna após a barra é o termo independente.]

Passo 4

Eliminamos o coeficiente de x na segunda linha. Para isso, fazemos a operação
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1.
Calculemos termo a termo:
  • Novo coeficiente de x: 3 - 3\cdot 1 = 0.
  • Novo coeficiente de y: -1 - 3\cdot 2 = -1 - 6 = -7.
  • Novo termo independente: 5 - 3\cdot 4 = 5 - 12 = -7.
A matriz aumentada passa a ser
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 4\\[4pt] 0 & -7 & -7 \end{array}\right).]

Passo 5

A matriz escalonada corresponde ao sistema triangular
\begin{cases} x + 2y = 4,\\[4pt] -7y = -7. \end{cases}
Agora resolvemos a segunda equação para y.]

Passo 6

Da segunda equação:
-7y = -7 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-7}{-7} = 1.
Então encontramos y=1.

Passo 7

Substituímos y=1 na primeira equação x+2y=4:
x + 2\cdot 1 = 4 \quad\Rightarrow\quad x + 2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 - 2 = 2.
Portanto x=2.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar): substituir (x,y)=(2,1) nas equações originais.
Primeira: 2 + 2\cdot 1 = 2+2=4 (ok).
Segunda: 3\cdot 2 - 1 = 6-1=5 (ok).
Ambas satisfeitas, solução confirmada.

Resposta

x=2
y=1

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