Resolva a equação matricial A X=B, onde:
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{c} 5 \\\\ 11 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5\\[4pt]11\end{pmatrix}
e pede resolver a equação matricial A X = B, ou seja, encontrar o vetor coluna X que satisfaz essa igualdade.]

Passo 2

Ideia geral e escolha do método: se a matriz A for invertível (determinante não nulo), então a solução é
X = A^{-1}B.
Para uma matriz 2\times2 existe uma fórmula explícita simples para A^{-1}, então vou usar essa fórmula porque é direta e rápida aqui. (Outras formas: eliminação de Gauss ou regra de Cramer, que dariam o mesmo resultado; escolhi inversa por ser curta para 2\times2.)

Passo 3

Definição e cálculo do determinante: para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}
o determinante é \det = ad-bc. Aplicando a A:
\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2.
Como \det(A)=-2\neq0, a matriz A é invertível e podemos calcular A^{-1}.]

Passo 4

Fórmula da inversa para 2\times2: se \det(A)\neq0,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando aos elementos de A (onde a=1,b=2,c=3,d=4) e usando \det(A)=-2:
A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculamos X=A^{-1}B. Escrevendo X=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix}, fazemos a multiplicação matricial:
\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\[4pt] 11\end{pmatrix}.
Calculando componente a componente:
x_1 = -2\cdot5 + 1\cdot11 = -10 + 11 = 1,
x_2 = \tfrac{3}{2}\cdot5 + \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\cdot11 = \tfrac{15}{2} - \tfrac{11}{2} = \tfrac{4}{2} = 2.]

Passo 6

Verificação rápida por eliminação (para ganhar confiança): o sistema linear equivalente é
\begin{cases} 1\cdot x_1 + 2\cdot x_2 = 5,\\[4pt] 3\cdot x_1 + 4\cdot x_2 = 11. \end{cases}
Multiplicando a primeira equação por -3 e somando à segunda:
(3x_1+4x_2) + (-3x_1 -6x_2) = 11 + (-15) \implies -2x_2 = -4 \implies x_2 = 2.
Substituindo em x_1+2x_2=5: x_1 + 2\cdot2 =5 x_1=1. Confere com o cálculo anterior.]

Resposta

X=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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