1. Sejam os dados:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 4,75 4,00 5,25 19,75 36,00
Estime o valor de
\int_{1}^{6} f(x) d x
usando a regra do trapézio

Passo 1

O enunciado pede que eu estime o valor da integral
\int_{1}^{6} f(x)\,dx
usando a regra do trapézio. Os dados fornecidos na tabela são (peguei os valores diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} x & f(x) \\\ \hline 1 & 4,75\\\\ 2 & 4,00\\\\ 3 & 5,25\\\\ 4 & 19,75\\\\ 5 & 36,00\\\\ 6 & \text{(em branco)} \end{array}
Observação importante: o valor de f(6) não foi informado na tabela. Esse valor é necessário para obter um valor numérico final usando a regra do trapézio no intervalo [1,6]. Aqui eu apenas listei o que o enunciado dá e o que ele pede; não vou resolver ainda.

Passo 2

O que é a regra do trapézio (explicação didática)?
  • A ideia é aproximar a área sob a curva y=f(x) entre dois pontos x_i e x_{i+1} por uma área de um trapézio cuja bases verticais têm alturas f(x_i) e f(x_{i+1}) e cuja largura é o comprimento do intervalo h=x_{i+1}-x_i.
  • A área de um trapézio com bases a e b e altura (largura horizontal) h é
\text{área} = \frac{a+b}{2}\cdot h.á
  • Aplicando isso a cada subintervalo e somando, obtemos a regra composta do trapézio para o intervalo [a,b] dividido em n subintervalos iguais de largura h:
T_n = h\left(\frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2}\right).
Aqui x_0=a e x_n=b. Vou agora explicar cada símbolo: h é a largura de cada subintervalo, n é o número de subintervalos, x_0,x_1,\dots,x_n são os nós (pontos onde conhecemos f).

Passo 3

Determinar n e h para o nosso problema:
  • O intervalo é [1,6]. A tabela dá valores em x=1,2,3,4,5,6, logo são 6 pontos; isso corresponde a n=5 subintervalos (porque entre 6 pontos há 5 intervalos).
  • A largura de cada subintervalo é
h=\frac{6-1}{5}=1.
Portanto cada subintervalo tem comprimento 1. Isso facilita as contas porque h=1.

Passo 4

Escrever a fórmula do trapézio composta específica para esses pontos:
T_5 = 1\left(\frac{f(1)}{2} + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + \frac{f(6)}{2}\right).
Como h=1, o fator externo é 1 e podemos nos concentrar na soma interna. Note que f(6) aparece com coeficiente \tfrac{1}{2} porque é o extremo direito do intervalo.

Passo 5

Substituir os valores conhecidos (peguei-os da tabela):
\frac{f(1)}{2}=\frac{4,75}{2}=2,375,
f(2)=4,00,\quad f(3)=5,25,\quad f(4)=19,75,\quad f(5)=36,00.
Somando essas parcelas conhecidas:
2,375 + 4,00 + 5,25 + 19,75 + 36,00 = 67,375.
Logo a expressão do trapézio fica
T_5 = 67,375 + \frac{f(6)}{2}.

Passo 6

Interpretação e conclusão: como o valor de f(6) não foi fornecido, não é possível dar um número final puro. A expressão acima é a estimativa pela regra do trapézio em termos de f(6). Se o professor ou a tabela nos desse f(6), bastaria substituir e calcular 67,375 + \tfrac{1}{2}f(6). Para ficar mais “bonitinho” em fração, podemos escrever também
67,375=\frac{539}{8},
portanto
T_5=\frac{539}{8}+\frac{1}{2}f(6).

Resposta

Não é possível calcular numericamente pois falta o valor de f(6).\nEstimativa pela regra do trapézio: \;67,375+\tfrac{1}{2}f(6)\; (equivalente a \tfrac{539}{8}+\tfrac{1}{2}f(6)).

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