Resolva o sistema linear pelo método que preferir.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=8 \\\\ -x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=1 \\\\ 3 x_{1}-7 x_{2}+4 x_{3}=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas
\left\{ \begin{array}{r} x_{1}+x_{2}+2x_{3}=8,\\\\ -\,x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=1,\\\\ 3x_{1}-7x_{2}+4x_{3}=10. \end{array} \right.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear, e vamos usar o método de eliminação de Gauss, escolhendo a primeira equação como pivô para eliminar x_{1} das outras duas.

Passo 2

Aplicando operações elementares para zerar x_{1} em­tre a 2ª e a 3ª eqs:
– Soma­mos a 2ª eq com a 1ª para eliminar x_{1} na 2ª eq.
– Subtraímos 3 vezes a 1ª eq da 3ª eq para eliminar x_{1} na 3ª eq.
Isso gera o sistema equivalente
\left\{ \begin{array}{r} x_{1}+x_{2}+2x_{3}=8,\\\\ -\,x_{2}+5x_{3}=9,\\\\ -10x_{2}-2x_{3}=-14. \end{array} \right.

Passo 3

Agora extraímos o sistema 2\times 2\) das duas últimas equações: \[\begin{cases} -\,x_{2}+5x_{3}=9,\\\\ -10x_{2}-2x_{3}=-14. \end{cases}
Da primeira delas temos
-\,x_{2}+5x_{3}=9 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=5x_{3}-9.
Substituindo em (-10x_{2}-2x_{3}=-14], obtemos
-10(5x_{3}-9)-2x_{3}=-14 \quad\Longrightarrow\quad -50x_{3}+90-2x_{3}=-14 \quad\Longrightarrow\quad -52x_{3}=-104 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=2.
Então
x_{2}=5\cdot2-9=10-9=1.

Passo 4

Por fim, voltamos à primeira equação
x_{1}+x_{2}+2x_{3}=8
e substituímos x_{2}=1 e x_{3}=2:
x_{1}+1+2\cdot2=8 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}+1+4=8 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=3.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(3,1,2).

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