Resolva o sistema linear pelo método que preferir.
\left\{\begin{array}{c}2 x_{1}-4 x_{2}-x_{3}=1 \\\ x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 3 x_{1}-5 x_{2}-3 x_{3}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 2x_{1}-4x_{2}-x_{3}=1,\\\ x_{1}-3x_{2}+x_{3}=1,\\\\ 3x_{1}-5x_{2}-3x_{3}=1 \end{cases}
e pede para resolver por algum método (vamos usar eliminação de Gauss).

Passo 2

Escrevemos a forma aumentada e eliminamos x_{1} das equações 2 e 3 usando a equação 1 como pivô. Em particular, fazemos
\text{(2)} \leftarrow \text{(2)} - \tfrac12\,\text{(1)}, \quad \text{(3)} \leftarrow \text{(3)} - \tfrac32\,\text{(1)}.
Isso leva ao sistema equivalente
\begin{cases} 2x_{1}-4x_{2}-x_{3}=1,\\\\ 0\cdot x_{1}-x_{2}+\tfrac32 x_{3}=\tfrac12,\\\\ 0\cdot x_{1}+x_{2}-\tfrac32 x_{3}=-\tfrac12. \end{cases}

Passo 3

Observe que somando a segunda e a terceira equação obtemos
(-x_{2}+\tfrac32x_{3}) + (x_{2}-\tfrac32x_{3}) =0 = \tfrac12 + (-\tfrac12),
ou seja, 0=0. Isso mostra que só há duas equações independentes, logo o sistema é indeterminado e tem infinitas soluções com um parâmetro livre.

Passo 4

Tomamos x_{3}=t como parâmetro.
Da segunda equação temos
-x_{2} + \tfrac32\,t = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \tfrac32\,t - \tfrac12.
Substituindo x_{2} e x_{3} na primeira equação
2x_{1} -4\Bigl(\tfrac32t-\tfrac12\Bigr) - t = 1 \;\Longrightarrow\; 2x_{1} -6t +2 - t = 1 \;\Longrightarrow\; 2x_{1} = 7t -1 \;\Longrightarrow\; x_{1} = \tfrac72\,t - \tfrac12.

Resposta

As soluções são
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr) = \Bigl(\tfrac72\,t - \tfrac12,\;\tfrac32\,t - \tfrac12,\;t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.

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