Resolva o sistema linear sobre R , de 3 incógnitas, sabendo que 0<\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c} : \left\{\begin{array}{l}a x+a y+c z=a^{2}+c^{2} \\\ b x-a y+c z=a^{2}-b^{2} \\\ a x+c y-b z=a^{2}-c^{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em três incógnitas x,y,z\) com parâmetros positivos \(a,b,c\) tais que \(0<a<b<c\): \[\begin{cases} a\,x + a\,y + c\,z = a^{2}+c^{2},\\\ b\,x - a\,y + c\,z = a^{2}-b^{2},\\\ a\,x + c\,y - b\,z = a^{2}-c^{2}. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistema 3\times3\] por Regra de Cramer, i.e. computar \(\det(M) e os determinantes obtidos trocando cada coluna por vetor de termos constantes.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes M e o vetor coluna V:
M=\begin{pmatrix} a & a & c\\\ b & -a & c\\\ a & c & -b \end{pmatrix},\qquad V=\begin{pmatrix} a^{2}+c^{2}\\\ a^{2}-b^{2}\\\ a^{2}-c^{2} \end{pmatrix}.
O determinante de M é
\det(M) = a^{2}b \;+\; a b^{2}\;+\;2a^{2}c\;-\;a c^{2}\;+\;b c^{2}.

Passo 3

Para x trocamos a 1ª coluna de M por V. O determinante resultante é
\begin{aligned} \det_{x}&= \begin{vmatrix} a^{2}+c^{2} & a & c\\\ a^{2}-b^{2} & -a & c\\\ a^{2}-c^{2} & c & -b \end{vmatrix} =2a^{3}b \;-\;a b^{3}\;+\;a b c^{2}\;+\;2a^{3}c\;-\;2a\,c^{3} \;-\;b^{2}c^{2}\;-\;c^{4}. \end{aligned}

Passo 4

Para y trocamos a 2ª coluna de M por V. O determinante resultante é
\begin{aligned} \det_{y}&= \begin{vmatrix} a & a^{2}+c^{2} & c\\\ b & a^{2}-b^{2} & c\\\ a & a^{2}-c^{2} & -b \end{vmatrix} =a^{2}b^{2}\;+\;b^{2}c^{2}\;+\;a b^{3}\;+\;a b^{2}c\;+\;a^{2}b c \;-\;a^{3}b\;-\;a^{3}c\;+\;2a\,c^{3}\;-\;b\,c^{3}. \end{aligned}

Passo 5

Para z trocamos a 3ª coluna de M por V. O determinante resultante é
\begin{aligned} \det_{z}&= \begin{vmatrix} a & a & a^{2}+c^{2}\\\ b & -a & a^{2}-b^{2}\\\ a & c & a^{2}-c^{2} \end{vmatrix} =a^{4}\;-\;a^{3}b\;-\;a^{3}c\;+\;2a^{2}c^{2} \;+\;a^{2}b c\;+\;a b^{2}c\;+\;a b\,c^{2}\;-\;a^{2}b^{2}\;+\;b\,c^{3}. \end{aligned}

Resposta

As soluções são, segundo Cramer,
x=\frac{\det_{x}}{\det(M)},\qquad y=\frac{\det_{y}}{\det(M)},\qquad z=\frac{\det_{z}}{\det(M)},
onde
\det(M)=a^{2}b + a b^{2} + 2a^{2}c - a c^{2} + b c^{2}
e \det_{x},\det_{y},\det_{z} são as expressões dadas nos Passos 3–5.

Exercícios relacionados