(UFJF-MG) Determine os valores de
e
para que o sistema linear
sobre
, nas incógnitas x e y, seja possivel e indeterminado.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
e pede os valores de
e
para que ele seja possível e indeterminado (ou seja, tenha infinitas soluções). O conteúdo aqui é sistema linear
, e vamos usar a condição de matriz singular (determinante zero) junto com a compatibilidade das equações.
Passo 2
Para ter infinitas soluções, o determinante da matriz de coeficientes deve ser zero. A matriz de coeficientes é
logo o seu determinante é
Impondo
vem
Passo 3
Além de
, as duas equações devem ser proporcionais (mesma reta). Suponha que a segunda equação seja
vezes a primeira. Comparando os coeficientes de
vem
Então o coeficiente de
na segunda deve ser
vezes o da primeira, isto é
o que confirma a condição anterior, e o termo constante deve atender
Passo 4
Agora resolvemos o sistema em
Da primeira equação
.