(UFJF-MG) Determine os valores de a e b para que o sistema linear \left\{\begin{array}{l}3 x+y=3 a+4 b \\\ (a-b) x+2 y=8\end{array}\right. sobre R, nas incógnitas x e y, seja possivel e indeterminado.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 3x + y = 3a + 4b,\\\ (a-b)x + 2y = 8 \end{cases}
e pede os valores de a e b para que ele seja possível e indeterminado (ou seja, tenha infinitas soluções). O conteúdo aqui é sistema linear 2\times2, e vamos usar a condição de matriz singular (determinante zero) junto com a compatibilidade das equações.

Passo 2

Para ter infinitas soluções, o determinante da matriz de coeficientes deve ser zero. A matriz de coeficientes é
\begin{pmatrix} 3 & 1\\\ a-b & 2 \end{pmatrix},
logo o seu determinante é
D = 3\cdot 2 - 1\cdot (a - b) = 6 - (a - b).
Impondo D=0 vem
6 - (a - b) = 0 \quad\Longrightarrow\quad a - b = 6.

Passo 3

Além de D=0, as duas equações devem ser proporcionais (mesma reta). Suponha que a segunda equação seja k vezes a primeira. Comparando os coeficientes de y vem
2 = k\cdot 1 \quad\Longrightarrow\quad k = 2.
Então o coeficiente de x na segunda deve ser 2 vezes o da primeira, isto é
a - b = 2\cdot 3 = 6,
o que confirma a condição anterior, e o termo constante deve atender
8 = k\,(3a + 4b) \quad\Longrightarrow\quad 8 = 2\,(3a + 4b) \quad\Longrightarrow\quad 4 = 3a + 4b.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema em a,b\): \[\begin{cases} a - b = 6,\\\\ 3a + 4b = 4. \end{cases}
Da primeira equação a = b + 6\]. Substituindo na segunda: \[3(b+6) + 4b = 4 \quad\Longrightarrow\quad 3b + 18 + 4b = 4 \quad\Longrightarrow\quad 7b = -14 \quad\Longrightarrow\quad b = -2.\] Então \(a = -2 + 6 = 4.

Resposta

a = 4,\quad b = -2.

Exercícios relacionados