1. a. Resolva o sistema
u=x-y, \quad v=2 x+y
para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o valor do jacobiano \partial(x, y) / \partial(u, v).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
\begin{cases} u = x - y,\\\ v = 2x + y, \end{cases}
e pede (1) inverter esse sistema para obter x e y em função de u e v, e (2) calcular o jacobiano
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
Para isso usaremos técnica de resolução de sistema linear e, em seguida, a definição de jacobiano como determinante da matriz das derivadas parciais.

Passo 2

Vamos inverter o sistema. Somando as duas equações:
u + v = (x - y) + (2x + y) = 3x
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x = \frac{u + v}{3}.
Para encontrar y, basta substituir x em u = x - y:
y = x - u = \frac{u + v}{3} - u = \frac{u + v - 3u}{3} = \frac{v - 2u}{3}.

Passo 3

Agora, o jacobiano é dado por
J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
Das fórmulas de x e y temos
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{3},\quad \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{3},\quad \frac{\partial y}{\partial u}=-\frac{2}{3},\quad \frac{\partial y}{\partial v}=\frac{1}{3}.
Assim,
J =\det\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\[4pt] -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =\frac{1}{9}+\frac{2}{9} =\frac{1}{3}.]

Resposta

x = \frac{u+v}{3},\quad y = \frac{v - 2u}{3}, \quad \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{3}.

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