Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{aligned} x-2 y+z & =1 \\\\ 2 x+y & =3 \\\ y-5 z & =4\end{aligned} \right.
\left\{\begin{array}{r}x+2 y+3 z=1 \\\\ -2 x+y+z=0 \\\\ 6 x-3 y-3 z=-1\end{array} \right.
\left\{\begin{array}{r}x+2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+y+3 z=0 \\\\ 3 x+2 y+z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver três sistemas lineares em \mathbb{R}^3 usando a Regra de Cramer. Isso significa que, para cada sistema A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}, vamos:
  1. Calcular \Delta=\det(A) (determinante da matriz dos coeficientes).
  2. Para cada variável x_i, formar \Delta_i trocando a coluna i de A pelo vetor \mathbf{b} e calcular \det(A_i).
  3. Aplicar x_i=\Delta_i/\Delta.
    Para o cálculo dos determinantes 3\times3 usaremos a Regra de Sarrus.

Passo 2

Sistema 1:
\begin{cases} x - 2y + z = 1,\\\\ 2x + y = 3,\\\ y - 5z = 4. \end{cases}
A matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes são
A_1 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -5 \end{pmatrix},\quad \mathbf b_1=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix}.
Calculamos
\Delta_1=\det(A_1) =1\cdot1\cdot(-5)+(-2)\cdot0\cdot0+1\cdot2\cdot1 -\bigl(1\cdot1\cdot0+(-2)\cdot2\cdot(-5)+1\cdot0\cdot1\bigr) =-23.

Passo 3

Ainda no sistema 1, substituímos a 1ª coluna por \mathbf b_1 para achar \Delta_{1x}:
A_{1x}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}, \quad \Delta_{1x} =\det(A_{1x}) =-36.
Logo
x=\frac{\Delta_{1x}}{\Delta_1} =\frac{-36}{-23} =\tfrac{36}{23}.

Passo 4

Substituímos a 2ª coluna por \mathbf b_1 para \Delta_{1y}:
A_{1y}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 4 & -5 \end{pmatrix}, \quad \Delta_{1y} =\det(A_{1y}) =3.
Logo
y=\frac{\Delta_{1y}}{\Delta_1} =\frac{3}{-23} =-\tfrac{3}{23}.

Passo 5

Substituímos a 3ª coluna por \mathbf b_1 para \Delta_{1z}:
A_{1z}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \Delta_{1z} =\det(A_{1z}) =19.
Logo
z=\frac{\Delta_{1z}}{\Delta_1} =\frac{19}{-23} =-\tfrac{19}{23}.

Passo 6

Sistema 2:
\begin{cases} x+2y+3z=1,\\\\ -2x+y+z=0,\\\\ 6x-3y-3z=-1. \end{cases}
A matriz dos coeficientes e o vetor são
A_2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ -2 & 1 & 1\\\\ 6 & -3 & -3 \end{pmatrix},\quad \mathbf b_2=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
Calculamos
\Delta_2 =\det(A_2) =9.

Passo 7

Para x, trocamos a 1ª coluna por \mathbf b_2:
A_{2x}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}, \quad \Delta_{2x} =-3.
Então
x=\frac{\Delta_{2x}}{\Delta_2} =-\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Para y, trocamos a 2ª coluna por \mathbf b_2:
A_{2y}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\\\ -2 & 0 & 1\\\\ 6 & -1 & -3 \end{pmatrix}, \quad \Delta_{2y} =7.
Logo
y=\frac{\Delta_{2y}}{\Delta_2} =\tfrac{7}{9}.

Passo 9

Para z, trocamos a 3ª coluna por \mathbf b_2:
A_{2z}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ -2 & 1 & 0\\\\ 6 & -3 & -1 \end{pmatrix}, \quad \Delta_{2z} =-5.
Logo
z=\frac{\Delta_{2z}}{\Delta_2} =-\tfrac{5}{9}.

Passo 10

Sistema 3:
\begin{cases} x+2y+3z=0,\\\\ 2x+y+3z=0,\\\\ 3x+2y+z=0. \end{cases}
Aqui
A_3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathbf b_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Calculamos
\Delta_3 =\det(A_3) =12.

Passo 11

Como \mathbf b_3 é o vetor nulo, qualquer \Delta_{3i}=\det(A_3 com a coluna i trocada por \mathbf b_3) vai ser zero. Logo
x=\tfrac{0}{12}=0,\quad y=\tfrac{0}{12}=0,\quad z=\tfrac{0}{12}=0.

Resposta

Sistema 1:
\bigl(x,y,z\bigr) =\Bigl(\tfrac{36}{23},\,-\tfrac{3}{23},\,-\tfrac{19}{23}\Bigr).
Sistema 2:
\bigl(x,y,z\bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{7}{9},\,-\tfrac{5}{9}\Bigr).
Sistema 3:
\bigl(x,y,z\bigr)=(0,0,0).

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