Determine o valor de m para que y=x^{m} seja uma solução para cada equação diferencial a seguir
x^{2} y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}+4 y=0.

Passo 1

O enunciado pede encontrar os valores de m tais que a função
y = x^{m}
satisfaça a equação diferencial de Euler
x^{2}y'' + 6x\,y' + 4y = 0.
O método consiste em assumir y=x^{m}, calcular suas derivadas, substituir na equação e obter a equação característica em m.

Passo 2

Para y=x^{m} temos
y' = m\,x^{m-1},
y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação diferencial:
x^{2}\bigl[m(m-1)\,x^{m-2}\bigr] + 6x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr] + 4\,x^{m} = 0.

Passo 3

Fatorando x^{m} em cada termo, fica
m(m-1)\,x^{m} + 6m\,x^{m} + 4\,x^{m} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bigl[m(m-1) + 6m + 4\bigr]\,x^{m} = 0.
Como x^{m}\neq0 em geral, a parte entre colchetes deve ser nula. Essa é a equação característica.

Passo 4

A equação característica é
m(m-1) + 6m + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; m^{2} - m + 6m + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; m^{2} + 5m + 4 = 0.
Calculando o discriminante:
\Delta = 5^{2} - 4\cdot1\cdot4 = 25 - 16 = 9,
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m = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5 \pm 3}{2}.
Isso dá
m = \frac{-5 + 3}{2} = -1 \quad\text{e}\quad m = \frac{-5 - 3}{2} = -4.

Resposta

Os valores de m são -1 e -4.

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