Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. \left\{\begin{array}{llr}x+y-z+t & = & 1 \\\\ 3 x-y-2 z+t & = & 2 \\\\ -x-2 y+3 z+2 t & = & -1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x + y - z + t = 1,\\\\ 3x - y - 2z + t = 2,\\\\ -\,x - 2y + 3z + 2t = -1 \end{cases}
e pede para encontrar a matriz ampliada reduzida à forma escada, os postos da matriz de coeficientes e da ampliada, e, se possível, o grau de liberdade. O conteúdo principal é eliminação de Gauss para obter forma escada.
Passo 2
Montamos a matriz ampliada (A|b) do sistema, com linha 1, 2 e 3 correspondendo às três equações:
Zeramos abaixo do pivô da primeira coluna usando \mathrm{R}_2\leftarrow \mathrm{R}_2-3\,\mathrm{R}_1 e \mathrm{R}_3\leftarrow \mathrm{R}_3+\mathrm{R}_1. Isso leva a
Para ter um pivô simples na segunda coluna, trocamos \mathrm{R}_2 por \mathrm{R}_3 e em seguida zeramos abaixo do novo pivô: \mathrm{R}_3\leftarrow \mathrm{R}_3-4\,\mathrm{R}_2. Obtém-se a forma escada
Na forma escada há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo o posto da matriz de coeficientes é \mathrm{rank}(A)=3. A coluna dos termos independentes não cria contradição, então \mathrm{rank}(A|b)=3. Como o número de incógnitas é n=4, o grau de liberdade é n-\mathrm{rank}(A)=4-3=1.