Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{llr}x+y-z+t & = & 1 \\\\ 3 x-y-2 z+t & = & 2 \\\\ -x-2 y+3 z+2 t & = & -1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x + y - z + t = 1,\\\\ 3x - y - 2z + t = 2,\\\\ -\,x - 2y + 3z + 2t = -1 \end{cases}
e pede para encontrar a matriz ampliada reduzida à forma escada, os postos da matriz de coeficientes e da ampliada, e, se possível, o grau de liberdade. O conteúdo principal é eliminação de Gauss para obter forma escada.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada (A|b) do sistema, com linha 1, 2 e 3 correspondendo às três equações:
(A|b)= \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & -2 & 1 & 2\\\\ -1& -2 & 3 & 2 & -1 \end{array}\right].

Passo 3

Zeramos abaixo do pivô da primeira coluna usando
\mathrm{R}_2\leftarrow \mathrm{R}_2-3\,\mathrm{R}_1 e
\mathrm{R}_3\leftarrow \mathrm{R}_3+\mathrm{R}_1. Isso leva a
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 0 & -4 & 1 & -2 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Para ter um pivô simples na segunda coluna, trocamos \mathrm{R}_2 por \mathrm{R}_3 e em seguida zeramos abaixo do novo pivô:
\mathrm{R}_3\leftarrow \mathrm{R}_3-4\,\mathrm{R}_2. Obtém-se a forma escada
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & -7 & -14 & -1 \end{array}\right].

Passo 5

Na forma escada há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo o posto da matriz de coeficientes é
\mathrm{rank}(A)=3. A coluna dos termos independentes não cria contradição, então
\mathrm{rank}(A|b)=3. Como o número de incógnitas é n=4, o grau de liberdade é
n-\mathrm{rank}(A)=4-3=1.

Resposta

Matriz ampliada em forma escada:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & -7 & -14 & -1 \end{array}\right].
posto \bigl(A\bigr)=3, posto \bigl(A|b\bigr)=3, o sistema é possível e o grau de liberdade é 1.

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