Obtenha o valor de M, para que o sistema \left\{\begin{array}{ll}x+M y-(M+1) z & =1 \\\ M x+4 y+(M-1) z & =3\end{array}\right., nas incógnitas x, y, z, seja compatível.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de M\) que tornam o sistema \[\begin{cases} x + M y - (M+1)z = 1,\\\ M x + 4y + (M-1)z = 3 \end{cases}
compatível (isto é, que exista pelo menos uma solução). O conteúdo principal aqui é teoria de sistemas lineares: um sistema é compatível se, e somente se,
\mathrm{rank}(A) \;=\;\mathrm{rank}([A\mid b]),
onde A\] é a matriz dos coeficientes e \([A\mid b] é a matriz aumentada.

Passo 2

Vamos escrever a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada:
A = \begin{pmatrix} 1 & M & -(M+1)\\\ M & 4 & M-1 \end{pmatrix}, \qquad [A\mid b] = \begin{pmatrix} 1 & M & -(M+1) & 1\\\ M & 4 & M-1 & 3 \end{pmatrix}.
Para o sistema ser compatível precisamos de
\mathrm{rank}(A) \;=\;\mathrm{rank}([A\mid b]).

Passo 3

Como A é 2\times3, o posto máximo é 2. Se alguma das menores 2\times2 de A for não nula, então \mathrm{rank}(A)=2. Vamos checar três menores principais:
  1. Colunas x,y:
\det\begin{pmatrix}1 & M\\\ M & 4\end{pmatrix} =4 - M^2.
  1. Colunas x,z:
\det\begin{pmatrix} 1 & -(M+1)\\\ M & M-1 \end{pmatrix} =(1)(M-1)-\bigl(-(M+1)\bigr)M = M^2 +2M -1.
  1. Colunas y,z:
\det\begin{pmatrix} M & -(M+1)\\\\ 4 & M-1 \end{pmatrix} = M(M-1)-4\bigl(-(M+1)\bigr) = M^2+3M+4.

Passo 4

Analisando as três menores:
  • 4 - M^2=0 M=\pm2.
  • M^2+2M-1=0 M=-1\pm\sqrt2.
  • M^2+3M+4 nunca se anula para M\in\mathbb{R} (discriminante negativo).
Logo, para todo M\in\mathbb{R} existe pelo menos uma dessas menores que é não nula, o que garante
\mathrm{rank}(A)=2\quad\forall M\in\mathbb{R}.

Passo 5

A matriz aumentada [A\mid b] também é 2\times4, então seu posto máximo é 2. Como \mathrm{rank}(A)=2, segue automaticamente
\mathrm{rank}([A\mid b])=2
e, portanto,
\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])\quad\forall M\in\mathbb{R}.
Isto implica que o sistema é compatível para qualquer valor de M.

Resposta

O sistema é compatível para todo M\in\mathbb{R}.

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