Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{llr}5 x-2 y+3 z & = & 2 \\\\ 3 x+y+4 z & = & -1 \\\\ 4 x-3 y+z & = & 3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas
\begin{cases} 5x - 2y + 3z = 2,\\\\ 3x + y + 4z = -1,\\\\ 4x - 3y + z = 3, \end{cases}
e pede para encontrar a forma escada da matriz ampliada, o posto da matriz de coeficientes, o posto da matriz ampliada e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma escada.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada do sistema, combinando a matriz de coeficientes com o vetor de termos constantes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 3 & 2\\\\ 3 & 1 & 4 & -1\\\\ 4 & -3 & 1 & 3 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos operações de linha para chegar à forma escada:
  1. Escolhemos 5 como pivô na linha 1.
  2. Eliminamos as entradas abaixo do pivô: L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac{3}{5}L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - \tfrac{4}{5}L_1.Isso produz \left[\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 3 & 2\\\\ 0 & \tfrac{11}{5} & \tfrac{11}{5} & -\tfrac{11}{5}\\\\ 0 & -\tfrac{7}{5} & -\tfrac{7}{5} & \tfrac{7}{5} \end{array}\right].
  3. Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 e eliminamos abaixo: L_2 \leftarrow \tfrac{5}{11}L_2 \quad\Rightarrow\quad L_2 = \bigl[0\;\;1\;\;1\mid -1\bigr],
L_3 \leftarrow L_3 + \tfrac{7}{5}L_2 \quad\Rightarrow\quad L_3 = [0\;0\;0\mid 0].
Em forma escada, a matriz ampliada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 3 & 2\\\\ 0 & \tfrac{11}{5} & \tfrac{11}{5} & -\tfrac{11}{5}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

O número de linhas não nulas na matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz de coeficientes. Como a terceira linha é nula, temos dois pivôs não nulos, logo
o posto da matriz de coeficientes é 2.
Na matriz ampliada também há duas linhas não nulas, portanto o posto da ampliada é 2.
Como os dois postos coincidem, o sistema é possível.

Passo 5

O grau de liberdade de um sistema com n incógnitas é n - \text{posto}. Aqui n=3 e o posto é 2, então o grau de liberdade é
3 - 2 = 1.

Resposta

A forma escada da matriz ampliada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & -2 & 3 & 2\\\\ 0 & \tfrac{11}{5} & \tfrac{11}{5} & -\tfrac{11}{5}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],
o posto da matriz de coeficientes é 2, o posto da matriz ampliada é 2 e o grau de liberdade é 1.

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