Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. \left\{\begin{array}{llr}5 x-2 y+3 z & = & 2 \\\\ 3 x+y+4 z & = & -1 \\\\ 4 x-3 y+z & = & 3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas
e pede para encontrar a forma escada da matriz ampliada, o posto da matriz de coeficientes, o posto da matriz ampliada e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Vamos usar eliminação de Gauss para obter a forma escada.
Passo 2
Escrevemos a matriz ampliada do sistema, combinando a matriz de coeficientes com o vetor de termos constantes:
Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 e eliminamos abaixo:L_2 \leftarrow \tfrac{5}{11}L_2 \quad\Rightarrow\quad L_2 = \bigl[0\;\;1\;\;1\mid -1\bigr],
O número de linhas não nulas na matriz de coeficientes é igual ao posto da matriz de coeficientes. Como a terceira linha é nula, temos dois pivôs não nulos, logo
o posto da matriz de coeficientes é 2.
Na matriz ampliada também há duas linhas não nulas, portanto o posto da ampliada é 2.
Como os dois postos coincidem, o sistema é possível.
Passo 5
O grau de liberdade de um sistema com n incógnitas é n - \text{posto}. Aqui n=3 e o posto é 2, então o grau de liberdade é