Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{l}x-2 y+3 z=4 \\\\ 2 x-4 y+6 z=5 \\\\ 2 x-6 y+9 z=12\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x-2y+3z=4\\[4pt] 2x-4y+6z=5\\[4pt] 2x-6y+9z=12 \end{cases}
O que é pedido:
  • Resolver o sistema (achar as soluções, se existirem).
  • Classificá-lo como SPS, SPI ou SI.
Informações relevantes do enunciado:
  • Temos 3 incógnitas x,y,z e 3 equações.
  • As equações 1 e 2 têm termos semelhantes na parte esquerda (a segunda parece ser o dobro da primeira na parte esquerda), mas os termos do lado direito são diferentes ( 4 e 5). Vou usar isso ao longo da resolução.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (operações elementares em linhas sobre a matriz aumentada). Por que? Porque é um método direto para detectar contradições e obter soluções, e funciona bem em sistemas 3×3 sem complicar muito os cálculos.
Antes de aplicar as operações, escrevemos a matriz aumentada do sistema. A matriz dos coeficientes e a coluna dos termos independentes são:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 4\\[4pt] 2 & -4 & 6 & 5\\[4pt] 2 & -6 & 9 & 12 \end{array}\right]
Lembrete rápido sobre operações elementares: podemos trocar linhas, somar a uma linha um múltiplo escalar de outra, ou multiplicar uma linha por um escalar não nulo. Essas operações equivalem a manipular equações sem mudar o conjunto solução.]

Passo 3

Elimino x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1. Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.
Calculemos R_2 - 2R_1:
  • Para a primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Segunda coluna: -4 - 2\cdot(-2) = -4 +4 = 0.
  • Terceira coluna: 6 - 2\cdot 3 = 6 -6 = 0.
  • Coluna aumentada: 5 - 2\cdot 4 = 5 -8 = -3.
Portanto R_2 - 2R_1 = [0\; 0\; 0 \mid -3].
Agora R_3 - 2R_1:
  • Primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Segunda: -6 - 2\cdot(-2) = -6 +4 = -2.
  • Terceira: 9 - 2\cdot 3 = 9 -6 = 3.
  • Coluna aumentada: 12 - 2\cdot 4 = 12 -8 = 4.
Então R_3 - 2R_1 = [0\; -2\; 3 \mid 4].
Aplicando as duas operações a matriz aumenta fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -3\\[4pt] 0 & -2 & 3 & 4 \end{array}\right]]

Passo 4

Interpretação do que apareceu: a segunda linha após a eliminação é
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -3,
ou seja,
0 = -3.
Isto é uma contradição evidente: nunca pode ser verdadeira. Quando, após manipulações equivalentes, surge uma linha da forma 0=\,\text{constante não nula}ã, o sistema é inconsistente — não existe tupla (x,y,z) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.
Conclusão imediata: o sistema não tem solução.

Passo 5

Explicação alternativa (racionalizando com posto/rank, para fixar a ideia): seja A a matriz dos coeficientes e [A|b] a matriz aumentada. Aqui vimos que, após operações, a linha de A correspondente ficou toda zeros, mas na matriz aumentada a mesma linha tem -3 na coluna dos termos independentes. Isso significa que o posto da matriz dos coeficientes \operatorname{rank}(A) é menor que o posto da matriz aumentada \operatorname{rank}([A|b]). Pela condição de consistência de sistemas lineares:
  • se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b]) o sistema é possível (tem solução),
  • se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|b]) o sistema é impossível.
Aqui temos \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|b]), portanto o sistema é impossível (SI).

Passo 6

Observação rápida e intuitiva: a segunda equação do enunciado tem a mesma parte esquerda da equação 1 multiplicada por 2, pois
2(x-2y+3z)=2x-4y+6z.
Se a primeira equação diz que x-2y+3z=4, então essa multiplicação daria 2x-4y+6z=8. Mas no enunciado a segunda equação tem o lado direito igual a 5. Então a segunda equação contradiz diretamente a primeira (8 ≠ 5), o que é outra forma muito rápida de ver que não há solução.

Resposta

SI — sistema impossível (não possui solução)

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