Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{l}x+3 y+5 z+7 w=12 \\\\ 3 x+5 y+7 z+w=0 \\\\ 5 x+7 y+z+3 w=4 \\\\ 7 x+y+3 z+5 w=16\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de quatro equações com quatro incógnitas e pede que eu o resolva e o classifique como SPS, SPI ou SI. As equações fornecidas são:
\begin{cases} x+3y+5z+7w=12 \\[4pt] 3x+5y+7z+w=0 \\[4pt] 5x+7y+z+3w=4 \\[4pt] 7x+y+3z+5w=16 \end{cases}
Informações relevantes que tenho (diretamente do enunciado):
\text{R1: } x+3y+5z+7w=12
\text{R2: } 3x+5y+7z+w=0
\text{R3: } 5x+7y+z+3w=4
\text{R4: } 7x+y+3z+5w=16
O que o problema pede: encontrar os valores de \,x,y,z,w, que satisfazem todas as equações e, depois, dizer se o sistema é SPS, SPI ou SI.]

Passo 2

Primeiro passo de cálculo: somar as quatro equações para ver se surge alguma simplificação útil. Somando lado a lado as quatro equações obtemos, no lado esquerdo, a soma das entradas de cada linha multiplicadas por (x,y,z,w). Note que em cada linha os coeficientes somam 1+3+5+7=16. Portanto, somando as quatro equações:
(1+3+5+7)(x+y+z+w)=12+0+4+16.
Isto é,
16(x+y+z+w)=32.
Dividindo por 16,
x+y+z+w=2.
Vou chamar essa soma de \,S: \;S=x+y+z+w=2.
Explicação curta do conceito usado: somar equações é uma operação linear válida que preserva as soluções; aqui ela é útil porque os coeficientes têm um padrão que simplifica a soma.

Passo 3

Agora vou formar uma combinação das equações que elimine parte das incógnitas. Subtraio a segunda equação da primeira (faço \text{R1}-\text{R2}):
Cálculo dos coeficientes:
(1-3)x+(3-5)y+(5-7)z+(7-1)w=12-0.
Isto dá
-2x-2y-2z+6w=12.
Dividindo por 2,
-x-y-z+3w=6.
Agora utilizo \,x+y+z=S-w=2-w (porque x+y+z+w=2). Substituindo:
-(2-w)+3w=6.
Simplifico:
-2+w+3w=6 \quad\Rightarrow\quad 4w-2=6.
Logo
4w=8 \quad\Rightarrow\quad w=2.
Comentário didático: subtrair equações permite eliminar ou reduzir combinações de incógnitas; usar a soma total já encontrada torna imediata a solução para w.

Passo 4

Com w=2 e S=2, tenho
x+y+z = S - w = 2 - 2 = 0.
Portanto
x+y+z=0.
Vou agora usar outra diferença entre equações para isolar z. Faço \text{R2}-\text{R3}:
(3-5)x+(5-7)y+(7-1)z+(1-3)w=0-4.
Isto dá
-2x-2y+6z-2w=-4.
Dividindo por 2,
-x-y+3z-w=-2.
Substituo x+y=-z (pois x+y+z=0) e também w=2:
-(-z)+3z-2=-2.
Simplifico:
z+3z-2=-2 \quad\Rightarrow\quad 4z-2=-2.
Logo
4z=0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
Explicação: usar diferença de equações reduziu o sistema a uma equação simples em z depois de substituir relações já obtidas.

Passo 5

Com z=0 e x+y+z=0 obtemos x+y=0, ou seja y=-x.
Substituo y=-x, z=0, w=2 em uma das equações originais para achar x. Uso a primeira equação \text{R1}:
x+3y+5z+7w=12.
Substituindo:
x+3(-x)+5\cdot0+7\cdot2=12.
Isto é
x-3x+14=12.
Logo
-2x+14=12 \quad\Rightarrow\quad -2x=-2 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Então y=-x=-1.

Passo 6

Resumo das soluções obtidas:
x=1,\quad y=-1,\quad z=0,\quad w=2.
Verificação rápida (checar em \text{R2} e \text{R3} e \text{R4}):
\text{R2: }3\cdot1+5\cdot(-1)+7\cdot0+1\cdot2=3-5+0+2=0\quad\checkmark
\text{R3: }5\cdot1+7\cdot(-1)+1\cdot0+3\cdot2=5-7+0+6=4\quad\checkmark
\text{R4: }7\cdot1+1\cdot(-1)+3\cdot0+5\cdot2=7-1+0+10=16\quad\checkmark
Tudo confere, logo a solução está correta.

Passo 7

Classificação do sistema: encontramos exatamente uma única solução. Por definição, um sistema com exatamente uma solução é “possível e determinado” (a sigla pedida corresponde a SPS no enunciado). Portanto o sistema é SPS.

Resposta

\displaystyle x=1,\;y=-1,\;z=0,\;w=2\n
SPS

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