e pede duas coisas: (i) resolver o sistema, ou seja, encontrar todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem as três equações; (ii) classificar o sistema como SPS (sistema possível e determinado — solução única), SPI (sistema possível e indeterminado — infinitas soluções) ou SI (sistema impossível — sem solução). As informações relevantes são exatamente as três equações acima.]
Passo 2
Vou usar eliminação por linhas (eliminação de Gauss), um método de passar de maneira sistemática pelas equações reduzindo variáveis até conseguir resolver por substituição. Primeiro escrevo a matriz aumentada correspondente ao sistema:
Explicando rápido: cada linha corresponde a uma equação; colunas 1, 2 e 3 correspondem às incógnitas x,y,z e a coluna à direita da barra é o termo constante.]
Passo 3
Agora faço operações elementares sobre as linhas para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha, primeira coluna). Vou eliminar os elementos das linhas 2 e 3 na coluna de x.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo elemento a elemento:
Observando as linhas 2 e 3, elas são idênticas: (0,\,-1,\,10\,|\, -3). Posso eliminar a linha 3 subtraindo a linha 2: R_3 \leftarrow R_3 - R_2, o que produz uma linha nula:
Hora de interpretar: a presença de uma linha toda zero na matriz de equações indica que as três equações não são todas independentes — o posto (rank) da matriz dos coeficientes é menor que o número de incógnitas. Vou usar o conceito de posto e a condição de consistência:
O posto da matriz dos coeficientes é o número de linhas não-nulas na forma escalonada — aqui é 2 (as duas primeiras linhas não nulas).
O posto da matriz aumentada também é 2 (a terceira linha da aumentada também é zero).
Temos \text{posto}(\text{coeficientes})=\text{posto}(\text{aumentada})=2 e o número de incógnitas é 3.
Regras de classificação rápidas:
Se \text{posto}(\text{coef})=\text{posto}(\text{aum})= \text{nº incógnitas}ºó → SPS (única solução).
Se \text{posto}(\text{coef})=\text{posto}(\text{aum})< \text{nº incógnitas}ºó → SPI (infinitas soluções).
Se \text{posto}(\text{coef})<\text{posto}(\text{aum}) → SI (inconsistente, sem solução).
Aqui estamos no segundo caso, então o sistema é SPI (infinitas soluções). Agora vamos parametrizar as soluções.
Passo 6
Volto às equações correspondentes à forma escalonada. A segunda linha dá:
- y + 10z = -3.
Resolvo para y em função de z:
- y = -3 -10z \quad\Rightarrow\quad y = 3 + 10z.
A primeira linha (originalmente) é
x + 2y -3z = 4.
Substituo y por 3+10z:
x + 2(3+10z) -3z =4.
Faço as contas passo a passo:
x + 6 + 20z -3z = 4 \quad\Rightarrow\quad x + 17z + 6 = 4.
Isolo x:
x + 17z = -2 \quad\Rightarrow\quad x = -2 -17z.
Passo 7
Como temos menos equações independentes que incógnitas, escolhemos uma variável livre. Chamo z=t com t\in\mathbb{R}. Então as soluções ficam:
x = -2 -17t,\qquad y = 3 + 10t,\qquad z = t,\qquad t\in\mathbb{R}.