Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-3 z=4 \\\\ 3 y+2 x+4 z=5 \\\\ 7 y-2 z+4 x=13\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x+2y-3z=4,\\[4pt] 2x+3y+4z=5,\\[4pt] 4x+7y-2z=13, \end{cases}
e pede duas coisas: (i) resolver o sistema, ou seja, encontrar todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem as três equações; (ii) classificar o sistema como SPS (sistema possível e determinado — solução única), SPI (sistema possível e indeterminado — infinitas soluções) ou SI (sistema impossível — sem solução). As informações relevantes são exatamente as três equações acima.]

Passo 2

Vou usar eliminação por linhas (eliminação de Gauss), um método de passar de maneira sistemática pelas equações reduzindo variáveis até conseguir resolver por substituição. Primeiro escrevo a matriz aumentada correspondente ao sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 4 & 7 & -2 & 13 \end{array}\right].
Explicando rápido: cada linha corresponde a uma equação; colunas 1, 2 e 3 correspondem às incógnitas x,y,z e a coluna à direita da barra é o termo constante.]

Passo 3

Agora faço operações elementares sobre as linhas para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha, primeira coluna). Vou eliminar os elementos das linhas 2 e 3 na coluna de x.
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Cálculo elemento a elemento:
R_2: (2-2\cdot1,\;3-2\cdot2,\;4-2\cdot(-3),\;5-2\cdot4)=(0,\,-1,\;10,\,-3).
Faço R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1. Cálculo:
R_3: (4-4\cdot1,\;7-4\cdot2,\;-2-4\cdot(-3),\;13-4\cdot4)=(0,\,-1,\;10,\,-3).
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 10 & -3\\[4pt] 0 & -1 & 10 & -3 \end{array}\right].]

Passo 4

Observando as linhas 2 e 3, elas são idênticas: (0,\,-1,\,10\,|\, -3). Posso eliminar a linha 3 subtraindo a linha 2: R_3 \leftarrow R_3 - R_2, o que produz uma linha nula:
R_3=(0,0,0\,|\,0).
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 10 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Hora de interpretar: a presença de uma linha toda zero na matriz de equações indica que as três equações não são todas independentes — o posto (rank) da matriz dos coeficientes é menor que o número de incógnitas. Vou usar o conceito de posto e a condição de consistência:
  • O posto da matriz dos coeficientes é o número de linhas não-nulas na forma escalonada — aqui é 2 (as duas primeiras linhas não nulas).
  • O posto da matriz aumentada também é 2 (a terceira linha da aumentada também é zero).
  • Temos \text{posto}(\text{coeficientes})=\text{posto}(\text{aumentada})=2 e o número de incógnitas é 3.
Regras de classificação rápidas:
  • Se \text{posto}(\text{coef})=\text{posto}(\text{aum})= \text{nº incógnitas}ºó → SPS (única solução).
  • Se \text{posto}(\text{coef})=\text{posto}(\text{aum})< \text{nº incógnitas}ºó → SPI (infinitas soluções).
  • Se \text{posto}(\text{coef})<\text{posto}(\text{aum}) → SI (inconsistente, sem solução).
Aqui estamos no segundo caso, então o sistema é SPI (infinitas soluções). Agora vamos parametrizar as soluções.

Passo 6

Volto às equações correspondentes à forma escalonada. A segunda linha dá:
- y + 10z = -3.
Resolvo para y em função de z:
- y = -3 -10z \quad\Rightarrow\quad y = 3 + 10z.
A primeira linha (originalmente) é
x + 2y -3z = 4.
Substituo y por 3+10z:
x + 2(3+10z) -3z =4.
Faço as contas passo a passo:
x + 6 + 20z -3z = 4 \quad\Rightarrow\quad x + 17z + 6 = 4.
Isolo x:
x + 17z = -2 \quad\Rightarrow\quad x = -2 -17z.

Passo 7

Como temos menos equações independentes que incógnitas, escolhemos uma variável livre. Chamo z=t com t\in\mathbb{R}. Então as soluções ficam:
x = -2 -17t,\qquad y = 3 + 10t,\qquad z = t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Expressando de forma vetorial:
(x,y,z)=(-2,3,0)+t(-17,10,1),\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (um checapezinho que dá confiança): para t=0 obtemos (x,y,z)=(-2,3,0). Substituindo na primeira equação:
-2 + 2\cdot3 -3\cdot0 = -2 +6 =4 \quad\checkmark
Segunda:
2(-2) + 3\cdot3 +4\cdot0 = -4 +9 =5 \quad\checkmark
Terceira:
4(-2)+7\cdot3 -2\cdot0 = -8 +21 =13 \quad\checkmark
Tudo confere, então a parametrização está correta.

Resposta

(x,y,z)=(-2-17t,\;3+10t,\;t),\\ t\in\mathbb{R}
SPI

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