Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI. \left\{\begin{array}{l}x+z=2 \\\ y+z=4 \\\ x+y=5 \\\ x+y+z=0\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver o sistema e classificá-lo como SPS (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível). \n
As equações dadas são:
Informações relevantes fornecidas: são quatro equações em três incógnitas x,y,z. O objetivo é encontrar todas as soluções que satisfaçam simultaneamente as quatro equações, se existirem, e então classificar o sistema.]
Passo 2
Escolha do método: aqui o sistema é pequeno e as primeiras três equações são simples (cada uma tem soma de duas variáveis). O método de substituição é direto: isolamos uma variável em algumas equações e substituímos nas outras. Isso costuma ser rápido e fácil de fazer sem calculadora, então usaremos substituição.
Passo 3
Isolamos variáveis nas equações mais simples. Da primeira equação isolamos z:
z = 2 - x.
Da terceira equação isolamos y:
y = 5 - x.
Agora substituímos essas expressões na segunda equação y+z=4. Substituindo:
(5 - x) + (2 - x) = 4.
Agora resolve-se essa equação para x.
Passo 4
Calcule passo a passo a equação obtida:
5 - x + 2 - x = 4
7 - 2x = 4
-2x = 4 - 7 = -3
x = \frac{3}{2}.
Passo 5
Com x=\frac{3}{2}, voltamos às expressões para y e z:
y = 5 - x = 5 - \frac{3}{2} = \frac{10}{2} - \frac{3}{2} = \frac{7}{2},
z = 2 - x = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.
Portanto as primeiras três equações são satisfeitas por \left(x,y,z\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{7}{2},\frac{1}{2}\right).
Passo 6
Verificamos agora a quarta equação x+y+z=0 com esses valores. Calculamos:
Como \frac{11}{2}\neq 0, os valores obtidos não satisfazem a quarta equação. Logo não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça simultaneamente todas as quatro equações.
Passo 7
Uma maneira rápida de ver a contradição sem encontrar as variáveis individualmente é somar as três primeiras equações:
(x+z)+(y+z)+(x+y)=2+4+5.
O lado esquerdo é 2x+2y+2z=2(x+y+z) e o lado direito é 11. Logo