Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\\\ 2 x+3 y-2 z=4 \\\\ 3 x+4 y-z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o sistema abaixo: escalonar, classificar e resolver.
O sistema dado é
\begin{cases} x+y+z=2\\[4pt] 2x+3y-2z=4\\[4pt] 3x+4y-z=6 \end{cases}
Informações relevantes que temos: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z. Não há nenhuma outra condição extra.]

Passo 2

O que significa “escalonar” aqui: colocar a matriz aumentada do sistema numa forma escalonada por linhas (forma triangular superior) usando operações elementares de linha. Operações elementares permitidas (e que não alteram o conjunto de soluções) são:
\text{(i) trocar duas linhas, \quad (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo, \quad (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.}ãú
Vou aplicar essas operações passo a passo e explicar cada movimento.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada [A|\mathbf{b}] do sistema (coeficientes e termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & -2 & 4\\[4pt] 3 & 4 & -1 & 6 \end{array}\right]
Aqui cada linha corresponde a uma equação: primeira linha é x+y+z=2, etc.]

Passo 4

Eliminação para zerar abaixo do pivô da primeira coluna (uso a primeira linha como pivô).
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculando componente a componente:
R_2: \\ (2-2\cdot1,\;3-2\cdot1,\;-2-2\cdot1,\;4-2\cdot2)=(0,1,-4,0).
Faço R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Calculando:
R_3: \\ (3-3\cdot1,\;4-3\cdot1,\;-1-3\cdot1,\;6-3\cdot2)=(0,1,-4,0).
Agora a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Continuo a escalonar: quero zerar abaixo do pivô da segunda linha. Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Calculando:
R_3: \\ (0-0,\;1-1,\;-4-(-4),\;0-0)=(0,0,0,0).
A matriz em forma escalonada por linhas (forma reduzida de escalonamento até ter linhas nulas agrupadas embaixo) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Isso termina o escalonamento necessário para classificar e resolver.]

Passo 6

Agora interpreto a forma escalonada para classificar o sistema usando o conceito de posto (rank).
Explicação do conceito: o posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para sistemas lineares com n incógnitas:
  • se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=n então há solução única;
  • se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])<n então há infinitas soluções (grau de liberdade n-\operatorname{rank});
  • se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) então o sistema é impossível (inconsistente).
    Da forma escalonada acima vemos que a matriz dos coeficientes A tem duas linhas não nulas (as duas primeiras), logo \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada também tem duas linhas não nulas (a terceira é nula), logo \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=2. O número de incógnitas é n=3. Portanto
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=2<3,
o que implica que o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções), com um parâmetro livre.

Passo 7

Resolvo explicitamente fazendo substituição a partir da forma escalonada.
As equações correspondentes às duas linhas não nulas são:
\begin{cases} x+y+z=2,\\[4pt] \;y-4z=0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos y=4z. Substituo na primeira:
x + (4z) + z = 2 \quad\Rightarrow\quad x + 5z = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 2-5z.
Como há um grau de liberdade, tomo z como parâmetro. Defina t\in\mathbb{R} e ponha z=t. Assim
x=2-5t,\qquad y=4t,\qquad z=t.
Escrevendo em forma vetorial ou paramétrica:
(x,y,z)=(2-5t,\;4t,\;t)=(2,0,0)+t(-5,4,1),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

Matriz escalonada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -4 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Classificação: sistema compatível indeterminado (posto =2<3), infinitas soluções.
Solução geral:
(x,y,z)=(2-5t,\;4t,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Exercícios relacionados