Informações relevantes que temos: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z. Não há nenhuma outra condição extra.]
Passo 2
O que significa “escalonar” aqui: colocar a matriz aumentada do sistema numa forma escalonada por linhas (forma triangular superior) usando operações elementares de linha. Operações elementares permitidas (e que não alteram o conjunto de soluções) são:
\text{(i) trocar duas linhas, \quad (ii) multiplicar uma linha por um escalar não nulo, \quad (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.}ãú
Vou aplicar essas operações passo a passo e explicar cada movimento.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada [A|\mathbf{b}] do sistema (coeficientes e termos independentes):
Aqui cada linha corresponde a uma equação: primeira linha é x+y+z=2, etc.]
Passo 4
Eliminação para zerar abaixo do pivô da primeira coluna (uso a primeira linha como pivô).
Faço R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Calculando componente a componente:
Isso termina o escalonamento necessário para classificar e resolver.]
Passo 6
Agora interpreto a forma escalonada para classificar o sistema usando o conceito de posto (rank).
Explicação do conceito: o posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Para sistemas lineares com n incógnitas:
se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=n então há solução única;
se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])<n então há infinitas soluções (grau de liberdade n-\operatorname{rank});
se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) então o sistema é impossível (inconsistente).
Da forma escalonada acima vemos que a matriz dos coeficientes A tem duas linhas não nulas (as duas primeiras), logo \operatorname{rank}(A)=2. A matriz aumentada também tem duas linhas não nulas (a terceira é nula), logo \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=2. O número de incógnitas é n=3. Portanto