Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo:
\left\{\begin{array}{l}x-4 y=7 \\\\ 3 x+y=3 \\\\ 5 x+3 y=34\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema com duas incógnitas x e y e três equações:
\begin{cases} x-4y=7,\\[4pt] 3x+y=3,\\[4pt] 5x+3y=34. \end{cases}
Pede-se (1) escalonar o sistema, (2) classificá‑lo (se é possível, impossível, determinado, indeterminado) e (3) resolver (encontrar as soluções, se existirem). Aqui temos exatamente essas três tarefas a cumprir.]

Passo 2

Vamos representar o sistema pela matriz aumentada (cada linha corresponde a uma equação, a barra separa os coeficientes do termo independente):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -4 & 7\\[4pt] 3 & 1 & 3\\[4pt] 5 & 3 & 34 \end{array}\right].
Explicando a ideia: escalonar significa usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular (escada), que facilita ver se há solução e, se houver, encontrá‑la. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.]

Passo 3

Eliminamos a variável x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô. As operações:
L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1,\qquad L_3 \leftarrow L_3 - 5L_1.
Calculemos linha a linha:
Para L_2: (3,1\mid3)-3(1,-4\mid7)=(3-3,\,1-3(-4)\mid3-3\cdot7)=(0,\,1+12\mid3-21)=(0,\,13\mid-18).
Para L_3: (5,3\mid34)-5(1,-4\mid7)=(5-5,\,3-5(-4)\mid34-5\cdot7)=(0,\,3+20\mid34-35)=(0,\,23\mid-1).
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -4 & 7\\[4pt] 0 & 13 & -18\\[4pt] 0 & 23 & -1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos a segunda linha, que tem pivô 13 na coluna de y, para eliminar o y na terceira linha. A operação é
L_3 \leftarrow L_3 - \frac{23}{13}L_2.
Fazendo as contas com cuidado para o termo independente (mostro passo a passo):
O coeficiente de y fica 23-\dfrac{23}{13}\cdot13=23-23=0 (como esperado).
O termo independente fica
-1-\frac{23}{13}\cdot(-18) = -1 + \frac{23\cdot18}{13}.
Calculando \dfrac{23\cdot18}{13}=\dfrac{414}{13}. Escrevendo -1 como -\dfrac{13}{13} temos
-1+\frac{414}{13}=-\frac{13}{13}+\frac{414}{13}=\frac{401}{13}.
Portanto a terceira linha se transforma em (0,0\mid \dfrac{401}{13}). A matriz escalonada é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -4 & 7\\[4pt] 0 & 13 & -18\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{401}{13} \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação da última linha: ela corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y = \frac{401}{13},
ou seja
0 = \frac{401}{13}.
Isto é uma contradição (pois \dfrac{401}{13}\neq 0). Quando, ao escalonar, aparece uma linha do tipo 0=\,não‑zero, concluímos que o sistema é incompatível — não existe par (x,y) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 6

Conclusão: o escalonamento revelou uma linha contraditória, logo o sistema é incompatível e não tem solução. Não há valores de x e y que atendam todas as três equações simultaneamente.

Resposta

Escalonado: \displaystyle \left[\begin{array}{cc|c}1 & -4 & 7\\[4pt]0 & 13 & -18\\[4pt]0 & 0 & \dfrac{401}{13}\end{array}\right]
Classificação: sistema incompatível (sem solução).
Solução: não existe solução.]

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