Ache a inversa da matriz dada (se ela existir) usando o teorema 3.8.
2. \left[\begin{array}{rr}4 & -2 \\\\ 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para achar a inversa da matriz dada (se ela existir) usando o teorema 3.8. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas: os elementos da matriz são a=4, b=-2, c=2, d=0. A tarefa é determinar A^{-1} aplicando o teorema 3.8.]

Passo 2

Vou enunciar o teorema 3.8 (forma padrão para matrizes 2\times2) e explicar o que cada símbolo significa. O teorema diz que, para
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
definimos o determinante como
\det(A)=ad-bc.
Se \det(A)\neq 0, então A é invertível e sua inversa é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicando: a,b,c,d são os elementos da matriz original; \det(A) é um número que mede se a matriz é invertível (se for zero, não tem inversa); a matriz dentro do parêntese é a adjunta (ou matriz dos cofatores transposta) para o caso 2\times2. Multiplicando essa matriz pela escala 1/\det(A) obtemos a inversa. Uma forma de entender por que funciona é multiplicar A por essa expressão e verificar que dá a matriz identidade, o que eu farei depois para checar nosso resultado.]

Passo 3

Agora identifico os elementos da matriz dada e calculo o determinante passo a passo. Para
A=\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix}
temos a=4, b=-2, c=2, d=0. Calculo ad e bc:
ad = 4\cdot 0 = 0,
bc = (-2)\cdot 2 = -4.
Portanto o determinante é
\det(A)=ad-bc = 0 - (-4) = 4.
Como \det(A)=4\neq 0, a matriz A é invertível e podemos aplicar a fórmula do teorema.]

Passo 4

Formo a matriz dos cofatores transposta (aquela dentro do parêntese da fórmula), ou seja
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -(-2)\\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}.
Expliquei cada entrada: o canto superior esquerdo é d=0; o canto superior direito é -b e como b=-2 temos -b=2; o canto inferior esquerdo é -c=-2; o canto inferior direito é a=4.]

Passo 5

Multiplico essa matriz pelo escalar 1/\det(A). Como \det(A)=4, temos o fator 1/4. Faço a multiplicação elemento a elemento:
A^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{4}\cdot 0 & \tfrac{1}{4}\cdot 2\\[4pt] \tfrac{1}{4}\cdot(-2) & \tfrac{1}{4}\cdot 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verifico que o resultado está correto multiplicando A por A^{-1} e confirmando que dá a identidade. Calculo A\cdot A^{-1} passo a passo:
A\cdot A^{-1}= \begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] 2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix}.
Elemento (1,1):
4\cdot 0 + (-2)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = 0 + 1 = 1.
Elemento (1,2):
4\cdot \tfrac{1}{2} + (-2)\cdot 1 = 2 - 2 = 0.
Elemento (2,1):
2\cdot 0 + 0\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = 0 + 0 = 0.
Elemento (2,2):
2\cdot \tfrac{1}{2} + 0\cdot 1 = 1 + 0 = 1.
O produto é
A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
que é a matriz identidade. Logo a inversa encontrada está correta.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix}]

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