Resolva os sistemas de equações diferenciais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou:
dxdt = -y + t dydt = x - t
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a combinação das equações para encontrar uma equação de segunda ordem que possamos resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar:
dxdt = -y + t (1)
dydt = x - t (2)
Nosso objetivo é encontrar uma função para $ x(t) $ e $ y(t) $ que satisfaça ambas as equações.

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para obter uma equação que envolva apenas $ x(t) $. Para isso, vamos derivar a equação (1) em relação a $ t $:
x(t)
Agora, da equação (2), sabemos que $ \frac{dy}{dt} = x - t $. Substituindo isso na equação acima:
t
Então, temos a equação diferencial de segunda ordem:
d^2xdt^2 = -dydt + 1

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação (3):
d^2xdt^2 + x = t + 1
Esta é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, encontramos a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea.
Equação homogênea:
d^2xdt^2 + x = 0
A solução geral da homogênea é:
xh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Solução Particular:
Para a parte não homogênea $ t + 1 $, tentamos uma solução particular na forma:
t + 1
Derivando:
xp(t) = At + B
dxpdt = A
Substituindo na equação (3):
d^2xpdt^2 = 0
Comparando os coeficientes:
0 + (At + B) = t + 1
Então, a solução particular é:
A = 1 e B = 1

Passo 5

A solução geral da equação original (3) é a soma da solução homogênea e da particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + t + 1

Passo 6

Agora que temos $ x(t) $, vamos encontrar $ y(t) $ usando a equação (1):
x(t)
Primeiro, derivamos $ x(t) $:
y(t)
Substituindo na equação:
dxdt = -y + t
Resolvendo para $ y(t) $:
x(t)

Resposta

As soluções do sistema de equações diferenciais são:
x(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + t + 1
y(t) = C1 sin(t) - C2 cos(t) - 1 + t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

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