Resolva os sistemas de equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você mandou:
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a combinação das equações para encontrar uma equação de segunda ordem que possamos resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar:
Nosso objetivo é encontrar uma função para $ x(t) $ e $ y(t) $ que satisfaça ambas as equações.
Passo 3
Vamos tentar eliminar uma das variáveis para obter uma equação que envolva apenas $ x(t) $. Para isso, vamos derivar a equação (1) em relação a $ t $:
Agora, da equação (2), sabemos que $ \frac{dy}{dt} = x - t $. Substituindo isso na equação acima:
Então, temos a equação diferencial de segunda ordem:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação (3):
Esta é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, encontramos a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da não homogênea.
Equação homogênea:
A solução geral da homogênea é:
Solução Particular:
Para a parte não homogênea $ t + 1 $, tentamos uma solução particular na forma:
Derivando:
Substituindo na equação (3):
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação original (3) é a soma da solução homogênea e da particular:
Passo 6
Agora que temos $ x(t) $, vamos encontrar $ y(t) $ usando a equação (1):
Primeiro, derivamos $ x(t) $:
Substituindo na equação:
Resolvendo para $ y(t) $:
Resposta
As soluções do sistema de equações diferenciais são:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.