Determine o domínio das seguintes funções
f(x)=4 raiz-8 x+12x+5

Passo 1

O enunciado pede o domínio de f(x)=4√((−8x+12)/(x+5)), ou seja, precisamos achar todos os x que deixam o radicando definido (não negativo) e a expressão sem divisão por zero. Para funções com raiz quadrada, temos duas condições para o domínio: 1) o denominador não pode ser zero; 2) o radicando deve ser maior ou igual a zero.

Passo 2

A condição do denominador é
x+5neq0
que implica
xneq-5 .
A condição do radicando é
-8x+12x+5>=0 .
Para resolver isso, primeiro achamos onde o numerador é zero:
Resolvendo
-8x+12=0
vem x=\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Agora fazemos um estudo de sinais da fração nos intervalos determinados por x=-5 e x=3/2:
  1. Em x<-5: numerador -8x+12>0 e denominador x+5<0 ⇒ fração negativa (excluída). 2) Em -5<x<3/2: numerador>0, denominador>0 ⇒ fração positiva (válida). 3) Em x>3/2: numerador<0, denominador>0 ⇒ fração negativa (excluída).
    Como podemos incluir onde a fração é zero (x=3/2) e nunca podemos x=-5, o domínio é o intervalo

Passo 4

final_answer

Resposta

O domínio de f é (-5,tfrac32].

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