Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores:
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede. Temos um sistema de equações diferenciais lineares com o operador
Pergunta: encontrar as funções
que satisfazem esse sistema. Informações relevantes dadas: os dois lados direito são exponenciais
e
; os coeficientes são polinômios em
com coeficientes constantes.]
Passo 2
Idéia do método de operadores (explicação didática): podemos tratar
como uma “letra” que obedece às mesmas regras algébricas dos polinômios quando estamos manipulando equações lineares com coeficientes constantes. Escrevemos o sistema na forma matricial de operadores
A solução é
aplicado ao vetor do lado direito. Para inverter
usamos a fórmula da inversa de
(mesma que em álgebra linear, só que agora as entradas são operadores):
onde
e
(determinante na álgebra dos operadores).]
Passo 3
Calcular o determinante operador
. Fazendo
:
Agora desenvolvemos passo a passo:
Subtraindo,
Passo 4
Escrevemos então explicitamente a inversa (formal) e a ação sobre o lado direito. Pela fórmula,
Multiplicando a matriz pelos termos do lado direito obtemos os numeradores operador-função:
Então
Passo 5
Agora calculamos
e
aplicando os operadores às exponenciais. Lembre que
e
. Vamos passo a passo:
Para
:
Assim
Para
:
Portanto
Passo 6
Agora precisamos aplicar
aos numeradores. Observação importante (a peça chave do método): se
é um polinômio em
com coeficientes constantes e
, então
Ou seja, ao aplicar um inverso de polinômio em
sobre uma exponencial
, basta substituir
por
no polinômio. Aqui
é um polinômio em
. Vamos avaliar
em
:
Como
, podemos aplicar a regra acima.
Passo 7
Aplicando
aos numeradores (substituindo
por
em
):
Simplificando a fração:
logo
Passo 8
Para
:
Simplificando:
portanto