Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores:
\left\{\begin{array}{cl}D x+D^{2} y & =e^{3 t} \\\ (D+1) x+(D-1) y & =4 e^{3 t}\end{array}\right.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede. Temos um sistema de equações diferenciais lineares com o operador D=\dfrac{d}{dt}\): \[\begin{cases} D x + D^{2} y = e^{3t},\\[4pt] (D+1)x + (D-1)y = 4e^{3t}. \end{cases}
Pergunta: encontrar as funções x(t)\] e \(y(t) que satisfazem esse sistema. Informações relevantes dadas: os dois lados direito são exponenciais e^{3t} e 4e^{3t}; os coeficientes são polinômios em D com coeficientes constantes.]

Passo 2

Idéia do método de operadores (explicação didática): podemos tratar D como uma “letra” que obedece às mesmas regras algébricas dos polinômios quando estamos manipulando equações lineares com coeficientes constantes. Escrevemos o sistema na forma matricial de operadores
A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}e^{3t}\\[2pt]4e^{3t}\end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix}D & D^{2}\\[2pt] D+1 & D-1\end{pmatrix}.
A solução é \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=A^{-1} aplicado ao vetor do lado direito. Para inverter A usamos a fórmula da inversa de 2\times2 (mesma que em álgebra linear, só que agora as entradas são operadores):
A^{-1}=\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt] -c & a\end{pmatrix},
onde a=D,\; b=D^{2},\; c=D+1,\; d=D-1 e \Delta=\det(A)=ad-bc (determinante na álgebra dos operadores).]

Passo 3

Calcular o determinante operador \Delta. Fazendo ad-bc:
\Delta = D\cdot(D-1) - (D+1)\cdot D^{2}.
Agora desenvolvemos passo a passo:
D\cdot(D-1)=D^{2}-D,
(D+1)\cdot D^{2}=D^{3}+D^{2}.
Subtraindo,
\Delta=(D^{2}-D)-(D^{3}+D^{2})=-D^{3}-D=-D\bigl(D^{2}+1\bigr).

Passo 4

Escrevemos então explicitamente a inversa (formal) e a ação sobre o lado direito. Pela fórmula,
\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} =\frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix}D-1 & -D^{2}\\[2pt] -(D+1) & D\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e^{3t}\\[2pt]4e^{3t}\end{pmatrix}.
Multiplicando a matriz pelos termos do lado direito obtemos os numeradores operador-função:
N_x=(D-1)\bigl(e^{3t}\bigr)-D^{2}\bigl(4e^{3t}\bigr),
N_y=-(D+1)\bigl(e^{3t}\bigr)+D\bigl(4e^{3t}\bigr).
Então
x=\frac{1}{\Delta}\,N_x,\qquad y=\frac{1}{\Delta}\,N_y.]

Passo 5

Agora calculamos N_x e N_y aplicando os operadores às exponenciais. Lembre que D(e^{3t})=3e^{3t} e D^{2}(e^{3t})=9e^{3t}. Vamos passo a passo:
Para N_x:
(D-1)\bigl(e^{3t}\bigr)=3e^{3t}-e^{3t}=2e^{3t},
D^{2}\bigl(4e^{3t}\bigr)=4\cdot D^{2}\bigl(e^{3t}\bigr)=4\cdot 9e^{3t}=36e^{3t}.
Assim
N_x=2e^{3t}-36e^{3t}=-34e^{3t}.
Para N_y:
-(D+1)\bigl(e^{3t}\bigr)=-(3e^{3t}+e^{3t})=-4e^{3t},
D\bigl(4e^{3t}\bigr)=4\cdot D(e^{3t})=4\cdot 3e^{3t}=12e^{3t}.
Portanto
N_y=-4e^{3t}+12e^{3t}=8e^{3t}.

Passo 6

Agora precisamos aplicar \dfrac{1}{\Delta} aos numeradores. Observação importante (a peça chave do método): se p(D) é um polinômio em D com coeficientes constantes e p(\lambda)\neq 0, então
\frac{1}{p(D)}\bigl(e^{\lambda t}\bigr)=\frac{1}{p(\lambda)}\,e^{\lambda t}.
Ou seja, ao aplicar um inverso de polinômio em D sobre uma exponencial e^{\lambda t}, basta substituir D por \lambda no polinômio. Aqui \Delta=-D(D^{2}+1) é um polinômio em D. Vamos avaliar \Delta em D=3:
\Delta(3)=-3\bigl(3^{2}+1\bigr)=-3(9+1)=-3\cdot 10=-30.
Como \Delta(3)\neq 0, podemos aplicar a regra acima.

Passo 7

Aplicando \dfrac{1}{\Delta} aos numeradores (substituindo D por 3 em \Delta):
x=\frac{1}{\Delta}\bigl(-34e^{3t}\bigr)=-34\cdot\frac{1}{\Delta(3)}\,e^{3t}=-34\cdot\frac{1}{-30}\,e^{3t}=\frac{34}{30}e^{3t}.
Simplificando a fração:
\frac{34}{30}=\frac{17}{15},
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x=\frac{17}{15}e^{3t}.

Passo 8

Para y:
y=\frac{1}{\Delta}\bigl(8e^{3t}\bigr)=8\cdot\frac{1}{\Delta(3)}\,e^{3t}=8\cdot\frac{1}{-30}\,e^{3t}=-\frac{8}{30}e^{3t}.
Simplificando:
-\frac{8}{30}=-\frac{4}{15},
portanto
y=-\frac{4}{15}e^{3t}.

Resposta

x=\dfrac{17}{15}e^{3t}\n y=-\dfrac{4}{15}e^{3t}

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