Resolva os sistemas de equações lineares abaixo por eliminação Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}=4 \\\\ 6 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=20 \\\\ -4 x_{1}-3 x_{2}+9 x_{3}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede sua solução (valores de x_{1},x_{2},x_{3}\)): \[\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=4,\\[4pt] 6x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=20,\\[4pt] -4x_{1}-3x_{2}+9x_{3}=3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Há três equações e três incógnitas (,x_{1},x_{2},x_{3},].
  • Quer-se a solução exata do sistema (não foi pedido método específico, mas foi pedido para usar eliminação Gauss-Jordan).]

Passo 2

Breve aula sobre o método que vamos aplicar (Gauss-Jordan):
  • Representamos o sistema por uma matriz aumentada, que junta os coeficientes e o lado direito numa única matriz.
  • Usamos operações elementares de linha que preservam o conjunto de soluções:
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j,
    2. multiplicar uma linha por um escalar não-nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i ( \lambda\neq0),
    3. somar a um múltiplo de uma linha outra linha: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
  • O objetivo do Gauss-Jordan é transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas (RREF), onde cada variável aparece com coeficiente 1 em uma linha e zeros nas outras linhas. A última coluna então dá diretamente os valores das incógnitas.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes e os termos constantes do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 4\\[4pt] 6 & 2 & 6 & 20\\[4pt] -4 & -3 & 9 & 3 \end{array}\right]
Aqui cada linha corresponde a uma equação: a primeira linha é 2x_{1}+1x_{2}+0x_{3}=4, etc.]

Passo 4

Primeiro objetivo: obter 1 como pivô na primeira coluna (linha 1). Faço divisão da linha 1 por 2:
R_{1}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{1}.
Cálculo: \tfrac{1}{2}[2\\\ 1\\\ 0\\ |\\\ 4]=[1\\ \tfrac{1}{2}\\\ 0\\ |\\\ 2]. Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 2\\[4pt] 6 & 2 & 6 & 20\\[4pt] -4 & -3 & 9 & 3 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminar os termos abaixo do pivô (usar R_{1} para zerar as entradas na coluna 1 das linhas 2 e 3).
  • Para zerar em R_{2}: R_{2}\leftarrow R_{2}-6R_{1}.
    Cálculo componente a componente:
    [6,2,6|20]-6[1,\tfrac{1}{2},0|2]=[6-6,\\\ 2-3,\\\ 6-0,\\\ 20-12]=[0,-1,6,8].
  • Para zerar em R_{3}: R_{3}\leftarrow R_{3}+4R_{1}.
    Cálculo:
    [-4,-3,9|3]+4[1,\tfrac{1}{2},0|2]=[-4+4,\\\ -3+2,\\\ 9+0,\\\ 3+8]=[0,-1,9,11].
Matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 6 & 8\\[4pt] 0 & -1 & 9 & 11 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora trabalhamos com a segunda coluna: tornamos o pivô da linha 2 igual a 1. Multiplicamos a linha 2 por -1:
R_{2}\leftarrow -1\cdot R_{2}.
Cálculo: -1[0,-1,6|8]=[0,1,-6|-8]. Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -8\\[4pt] 0 & -1 & 9 & 11 \end{array}\right]]

Passo 7

Eliminar as entradas da coluna 2 nas outras linhas usando o novo R_{2}.
  • Para zerar em R_{1}: R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{1}{2}R_{2}.
    Cálculo: [1,\tfrac{1}{2},0|2]-\tfrac{1}{2}[0,1,-6|-8]=[1,\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2},\\\ 0-(-3),\\\ 2-(-4)]=[1,0,3,6].
    Observação do cálculo de x_{3}: -\tfrac{1}{2}\cdot(-6)=3.
  • Para zerar em R_{3}: R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}.
    Cálculo: [0,-1,9|11]+[0,1,-6|-8]=[0,0,3,3].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -8\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 3 \end{array}\right]]

Passo 8

Trabalhar a terceira coluna: tornar o pivô da linha 3 igual a 1 dividindo a linha 3 por 3:
R_{3}\leftarrow \tfrac{1}{3}R_{3}.
Cálculo: \tfrac{1}{3}[0,0,3|3]=[0,0,1|1]. Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 6\\[4pt] 0 & 1 & -6 & -8\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 9

Eliminar as entradas acima do pivô da terceira coluna para obter a forma reduzida por linhas completa.
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-3R_{3}. Cálculo: [1,0,3|6]-3[0,0,1|1]=[1,0,0,3].
  • R_{2}\leftarrow R_{2}+6R_{3}. Cálculo: [0,1,-6|-8]+6[0,0,1|1]=[0,1,0,-2].
Matriz final em forma reduzida por linhas (RREF):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Interpretação: a matriz está na forma reduzida; cada linha dá uma equação do tipo x_{i}= elemento da última coluna. As incógnitas serão listadas na seção de resposta.]

Resposta

x_{1}=3
x_{2}=-2
x_{3}=1

Exercícios relacionados