Resolva os sistemas de equações lineares abaixo por eliminação Gauss-Jordan: \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}=4 \\\\ 6 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=20 \\\\ -4 x_{1}-3 x_{2}+9 x_{3}=3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema linear e pede sua solução (valores de x_{1},x_{2},x_{3}\)):
\[\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=4,\\[4pt] 6x_{1}+2x_{2}+6x_{3}=20,\\[4pt] -4x_{1}-3x_{2}+9x_{3}=3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
Há três equações e três incógnitas (,x_{1},x_{2},x_{3},].
Quer-se a solução exata do sistema (não foi pedido método específico, mas foi pedido para usar eliminação Gauss-Jordan).]
Passo 2
Breve aula sobre o método que vamos aplicar (Gauss-Jordan):
Representamos o sistema por uma matriz aumentada, que junta os coeficientes e o lado direito numa única matriz.
Usamos operações elementares de linha que preservam o conjunto de soluções:
trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j,
multiplicar uma linha por um escalar não-nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i (\lambda\neq0),
somar a um múltiplo de uma linha outra linha: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
O objetivo do Gauss-Jordan é transformar a matriz aumentada na forma reduzida por linhas (RREF), onde cada variável aparece com coeficiente 1 em uma linha e zeros nas outras linhas. A última coluna então dá diretamente os valores das incógnitas.
Passo 3
Escrever a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes e os termos constantes do enunciado):
Eliminar os termos abaixo do pivô (usar R_{1} para zerar as entradas na coluna 1 das linhas 2 e 3).
Para zerar em R_{2}: R_{2}\leftarrow R_{2}-6R_{1}.
Cálculo componente a componente: [6,2,6|20]-6[1,\tfrac{1}{2},0|2]=[6-6,\\\ 2-3,\\\ 6-0,\\\ 20-12]=[0,-1,6,8].
Para zerar em R_{3}: R_{3}\leftarrow R_{3}+4R_{1}.
Cálculo: [-4,-3,9|3]+4[1,\tfrac{1}{2},0|2]=[-4+4,\\\ -3+2,\\\ 9+0,\\\ 3+8]=[0,-1,9,11].
Eliminar as entradas da coluna 2 nas outras linhas usando o novo R_{2}.
Para zerar em R_{1}: R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{1}{2}R_{2}.
Cálculo: [1,\tfrac{1}{2},0|2]-\tfrac{1}{2}[0,1,-6|-8]=[1,\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2},\\\ 0-(-3),\\\ 2-(-4)]=[1,0,3,6].
Observação do cálculo de x_{3}: -\tfrac{1}{2}\cdot(-6)=3.
Para zerar em R_{3}: R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}.
Cálculo: [0,-1,9|11]+[0,1,-6|-8]=[0,0,3,3].
Interpretação: a matriz está na forma reduzida; cada linha dá uma equação do tipo x_{i}= elemento da última coluna. As incógnitas serão listadas na seção de resposta.]