Resolva os sistemas de equações lineares abaixo por eliminação Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{l}4 x-y+6 z=35 \\\ x+4 y-z=-14 \\\\ 3 x+y-3 z=-9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e pede sua solução:
\left\{\begin{array}{rcr} 4x-y+6z & = & 35\\[4pt] x+4y-z & = & -14\\[4pt] 3x+y-3z & = & -9 \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • São três equações lineares com três incógnitas x, y e z.
  • O objetivo é resolver o sistema por eliminação Gauss-Jordan (reduzir a forma de linha reduzida).]

Passo 2

Breve explicação do método Gauss-Jordan (no nível necessário para fazer a prova):
  • Representa-se o sistema por sua matriz aumentada; cada linha corresponde a uma equação e cada coluna às incógnitas, com uma coluna extra para os termos constantes.
  • Usa-se operações elementares de linha:
    1. trocar duas linhas ( R_i\leftrightarrow R_j);
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo ( kR_i);
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra ( R_i + kR_j\to R_i).
  • O objetivo é obter a matriz identidade na parte das incógnitas (forma reduzida por linhas), assim lê-se imediatamente a solução.
  • Vou aplicar essas operações passo a passo, explicando cada conta.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada do sistema (peguei os coeficientes e os termos independentes das equações dadas):
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 6 & 35\\[4pt] 1 & 4 & -1 & -14\\[4pt] 3 & 1 & -3 & -9 \end{array}\right]]

Passo 4

Escolher um bom pivô na primeira coluna. Como a segunda linha já tem 1 na primeira coluna, é conveniente trocar \,R_1 e \,R_2 para evitar frações desnecessárias:
Aplicando R_1\leftrightarrow R_2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & -14\\[4pt] 4 & -1 & 6 & 35\\[4pt] 3 & 1 & -3 & -9 \end{array}\right]]

Passo 5

Zerar os elementos da primeira coluna abaixo do pivô 1 (usar o pivô 1 em R_1):
  • R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1. Cálculo de cada entrada:
    • primeira coluna: 4-4\cdot1=0,
    • segunda: -1-4\cdot4=-1-16=-17,
    • terceira: 6-4\cdot(-1)=6+4=10,
    • termo independente: 35-4\cdot(-14)=35+56=91.
      Assim R_2=[0\\\ -17\\\ 10\mid 91].
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1. Cálculos:
    • primeira coluna: 3-3\cdot1=0,
    • segunda: 1-3\cdot4=1-12=-11,
    • terceira: -3-3\cdot(-1)=-3+3=0,
    • termo independente: -9-3\cdot(-14)=-9+42=33.
      Assim R_3=[0\\\ -11\\\ 0\mid 33].
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & -14\\[4pt] 0 & -17 & 10 & 91\\[4pt] 0 & -11 & 0 & 33 \end{array}\right]]

Passo 6

Escolher o pivô na segunda coluna: em R_2 o elemento é -17. Para trabalhar em forma reduzida convém tornar o pivô igual a 1. Dividimos R_2 por -17:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-17}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2=\left[0\\\ 1\\\ -\tfrac{10}{17}\\ \Big|\\\ -\tfrac{91}{17}\right].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & -14\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{10}{17} & -\tfrac{91}{17}\\[4pt] 0 & -11 & 0 & 33 \end{array}\right]]

Passo 7

Zerar os outros elementos da segunda coluna usando o pivô 1 em R_2:
  • Eliminar em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2.
    Cálculos:
    • terceira coluna: -1 - 4\cdot\left(-\tfrac{10}{17}\right) = -1 + \tfrac{40}{17} = -\tfrac{17}{17} + \tfrac{40}{17} = \tfrac{23}{17}.
    • termo independente: -14 - 4\cdot\left(-\tfrac{91}{17}\right) = -14 + \tfrac{364}{17} = -\tfrac{238}{17} + \tfrac{364}{17} = \tfrac{126}{17}.
      Assim R_1=[1\\\ 0\\ \tfrac{23}{17}\mid \tfrac{126}{17}].
  • Eliminar em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 11R_2 (pois R_3 tem -11 na coluna 2).
    Cálculos:
    • terceira coluna: 0 + 11\cdot\left(-\tfrac{10}{17}\right) = -\tfrac{110}{17}.
    • termo independente: 33 + 11\cdot\left(-\tfrac{91}{17}\right) = 33 - \tfrac{1001}{17} = \tfrac{561}{17} - \tfrac{1001}{17} = -\tfrac{440}{17}.
      Assim R_3=[0\\\ 0\\\ -\tfrac{110}{17}\mid -\tfrac{440}{17}].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{23}{17} & \tfrac{126}{17}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{10}{17} & -\tfrac{91}{17}\\[6pt] 0 & 0 & -\tfrac{110}{17} & -\tfrac{440}{17} \end{array}\right]]

Passo 8

Obter pivô 1 na terceira coluna (linha 3). O elemento é -\tfrac{110}{17}. Dividir R_3 por esse valor (equivalente a multiplicar por -\tfrac{17}{110}):
R_3 \leftarrow \left(-\tfrac{17}{110}\right)R_3 \quad\Rightarrow\quad R_3=[0\\\ 0\\\ 1 \mid 4].
Explicação da conta para o termo independente:
-\tfrac{440}{17}\cdot\left(-\tfrac{17}{110}\right)=\frac{440}{110}=4.

Passo 9

Zerar as entradas nas colunas de z acima do pivô em R_3:
  • Em R_2 -\tfrac{10}{17} na coluna de z. Fazer R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{10}{17}R_3.
    Cálculo do termo independente de R_2: -\tfrac{91}{17} + \tfrac{10}{17}\cdot 4 = -\tfrac{91}{17} + \tfrac{40}{17} = -\tfrac{51}{17} = -3.Assim R_2=[0\\\ 1\\\ 0\mid -3].
  • Em R_1 \tfrac{23}{17} na coluna de z. Fazer R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{23}{17}R_3.
    Cálculo do termo independente de R_1: \tfrac{126}{17} - \tfrac{23}{17}\cdot 4 = \tfrac{126}{17} - \tfrac{92}{17} = \tfrac{34}{17} = 2.Assim R_1=[1\\\ 0\\\ 0\mid 2].
Agora a matriz está na forma reduzida por linhas:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right]]

Passo 10

Ler a solução diretamente da matriz final:
x=2,\qquad y=-3,\qquad z=4.
(Facilitei checagens inteiras no processo e os valores finais são inteiros.)

Passo 11

Verificação rápida (substituir na equações originais para ter certeza):
  • Primeira equação: 4\cdot 2 - (-3) + 6\cdot 4 = 8 + 3 + 24 = 35 (confere).
  • Segunda: 2 + 4(-3) - 4 = 2 -12 -4 = -14 (confere).
  • Terceira: 3\cdot 2 + (-3) - 3\cdot 4 = 6 -3 -12 = -9 (confere).

Resposta

x=2
y=-3
z=4

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