Resolva os sistemas de equações lineares abaixo por eliminação Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}=5 \\\ x_{1}+x_{2}=3\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver o sistema de duas equações com duas incógnitas e encontrar os valores de x_{1} e x_{2}.
As informações dadas (copiadas do enunciado):
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=5,\\[4pt] x_{1}+x_{2}=3. \end{cases}]

Passo 2

Entendendo a estratégia (explicação didática do método Gauss-Jordan).
  • A ideia é transformar o sistema numa forma equivalente em que as incógnitas aparecem isoladas, usando operações elementares sobre as linhas do sistema. Essas operações não mudam a solução e são:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um número diferente de zero;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Para trabalhar de forma sistemática representamos o sistema como matriz aumentada. A matriz aumentada reúne os coeficientes das incógnitas e o lado direito numa única tabela, o que facilita aplicar as operações.

Passo 3

Formar a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes das equações fornecidas):
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 3 \end{array}\right].
Aqui a primeira coluna corresponde aos coeficientes de x_{1}, a segunda coluna aos coeficientes de x_{2} e a coluna à direita da barra é o vetor de termos independentes.]

Passo 4

Objetivo do Gauss-Jordan: levar a matriz aumentada à forma reduzida por linhas (forma reduzida escalonada), onde a parte esquerda da barra fica igual à matriz identidade
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & *\\[4pt] 0 & 1 & * \end{array}\right],
pois aí os asteriscos serão os valores de x_{1} e x_{2}. Vamos aplicar operações passo a passo, sempre justificando o que fazemos.]

Passo 5

Primeiro passo prático: obter 1 como pivô na primeira linha (posição (1,1)). Podemos dividir a primeira linha por 2 (operação do tipo multiplicar uma linha por escalar):
R_{1}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{1}.
Aplicando isso à matriz:
\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 5\\[4pt] 1 & 1 & 3 \end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\\[6pt] 1 & 1 & 3 \end{array}\right].
Expliquei: agora a primeira linha tem 1 na coluna de x_{1}, o que facilita zerar a entrada abaixo (na mesma coluna).]

Passo 6

Eliminar a entrada abaixo do pivô (tornar a posição (2,1) igual a 0). Usamos R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} (somar a segunda linha o múltiplo -1 da primeira):
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}.
Calculemos os novos elementos da segunda linha:
  • Nova entrada (2,1): 1-1=0.
  • Nova entrada (2,2): 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
  • Novo termo independente: 3-\tfrac{5}{2}= \tfrac{6}{2}-\tfrac{5}{2}=\tfrac{1}{2}.
A matriz fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 7

Agora queremos obter o pivô 1 na segunda linha, coluna (2,2). Dividimos a segunda linha por \tfrac{1}{2} (ou multiplicamos por 2):
R_{2}\leftarrow 2R_{2}.
Fazendo isso:
  • Nova entrada (2,2): \tfrac{1}{2}\cdot 2=1.
  • Novo termo independente: \tfrac{1}{2}\cdot 2=1.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Gauss-Jordan exige eliminar também as entradas acima dos pivôs (não só abaixo), para obter a matriz identidade na parte esquerda. Vamos zerar a entrada (1,2) que vale \tfrac{1}{2} usando
R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{1}{2}R_{2}.
Calculemos:
  • Nova entrada (1,1): permanece 1 (pois estamos subtraindo \tfrac{1}{2} vezes uma linha cuja primeira entrada é 0).
  • Nova entrada (1,2): \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 1=0.
  • Novo termo independente da primeira linha: \tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{2}=2.
A matriz reduzida fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2\\[6pt] 0 & 1 & 1 \end{array}\right],
que é exatamente a forma reduzida por linhas desejada.]

Passo 9

Interpretando a matriz final: a parte esquerda é a matriz identidade e a coluna à direita dá diretamente os valores das incógnitas:
  • A primeira linha corresponde a 1\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}=2, ou seja x_{1}=2.
  • A segunda linha corresponde a 0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}=1, ou seja x_{2}=1.

Passo 10

Checagem rápida por substituição (para ganhar confiança): substituir x_{1}=2 e x_{2}=1 nas equações originais:
  • Primeira equação: 2x_{1}+x_{2}=2\cdot 2+1=4+1=5, bate com o lado direito 5.
  • Segunda equação: x_{1}+x_{2}=2+1=3, bate com o lado direito 3.
Tudo consistente: solução correta.

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=1

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