Resolva os sistemas de equações lineares abaixo por eliminação Gauss-Jordan: \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}=5 \\\ x_{1}+x_{2}=3\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver o sistema de duas equações com duas incógnitas e encontrar os valores de x_{1} e x_{2}.
Entendendo a estratégia (explicação didática do método Gauss-Jordan).
A ideia é transformar o sistema numa forma equivalente em que as incógnitas aparecem isoladas, usando operações elementares sobre as linhas do sistema. Essas operações não mudam a solução e são:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um número diferente de zero;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Para trabalhar de forma sistemática representamos o sistema como matriz aumentada. A matriz aumentada reúne os coeficientes das incógnitas e o lado direito numa única tabela, o que facilita aplicar as operações.
Passo 3
Formar a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes das equações fornecidas):
Aqui a primeira coluna corresponde aos coeficientes de x_{1}, a segunda coluna aos coeficientes de x_{2} e a coluna à direita da barra é o vetor de termos independentes.]
Passo 4
Objetivo do Gauss-Jordan: levar a matriz aumentada à forma reduzida por linhas (forma reduzida escalonada), onde a parte esquerda da barra fica igual à matriz identidade
pois aí os asteriscos serão os valores de x_{1} e x_{2}. Vamos aplicar operações passo a passo, sempre justificando o que fazemos.]
Passo 5
Primeiro passo prático: obter 1 como pivô na primeira linha (posição (1,1)). Podemos dividir a primeira linha por 2 (operação do tipo multiplicar uma linha por escalar):
Expliquei: agora a primeira linha tem 1 na coluna de x_{1}, o que facilita zerar a entrada abaixo (na mesma coluna).]
Passo 6
Eliminar a entrada abaixo do pivô (tornar a posição (2,1) igual a 0). Usamos R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} (somar a segunda linha o múltiplo -1 da primeira):
R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}.
Calculemos os novos elementos da segunda linha:
Nova entrada (2,1): 1-1=0.
Nova entrada (2,2): 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Novo termo independente: 3-\tfrac{5}{2}= \tfrac{6}{2}-\tfrac{5}{2}=\tfrac{1}{2}.
Gauss-Jordan exige eliminar também as entradas acima dos pivôs (não só abaixo), para obter a matriz identidade na parte esquerda. Vamos zerar a entrada (1,2) que vale \tfrac{1}{2} usando
R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac{1}{2}R_{2}.
Calculemos:
Nova entrada (1,1): permanece 1 (pois estamos subtraindo \tfrac{1}{2} vezes uma linha cuja primeira entrada é 0).
Nova entrada (1,2): \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 1=0.
Novo termo independente da primeira linha: \tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 1=\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{4}{2}=2.