Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas. \left\{\begin{array}{l}5 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=0 \\\\ 6 x_{1}+x_{2}-3 x_{3}+2 x_{4}=0 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+12 x_{3}-13 x_{4}=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por eliminação gaussiana, o sistema homogêneo de 3 equações e 4 incógnitas
e, em seguida, interpretar geometricamente o conjunto‐solução como interseção de hiperplanos em \mathbb{R}^4. Usaremos operações elementares entre equações para escalonar o sistema, encontraremos as incógnitas livres e expressaremos a solução geral em função de parâmetros.
Passo 2
Denotando as equações originais por E_1,E_2,E_3, fazemos para eliminar x_1 em E_2 e E_3:
Geometricamente, é o espaço gerado pelos vetores (5,-27,1,0) e (-5,28,0,1), ou seja, um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^4. Trata-se da interseção de três hiperplanos passando pela origem, resultado num “plano” de dimensão 2 em \mathbb{R}^4.