Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
\left\{\begin{array}{l}5 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=0 \\\\ 6 x_{1}+x_{2}-3 x_{3}+2 x_{4}=0 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+12 x_{3}-13 x_{4}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por eliminação gaussiana, o sistema homogêneo de 3 equações e 4 incógnitas
\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+2x_{3}-3x_{4}=0,\\\\ 6x_{1}+x_{2}-3x_{3}+2x_{4}=0,\\\\ 3x_{1}+x_{2}+12x_{3}-13x_{4}=0, \end{cases}
e, em seguida, interpretar geometricamente o conjunto‐solução como interseção de hiperplanos em \mathbb{R}^4. Usaremos operações elementares entre equações para escalonar o sistema, encontraremos as incógnitas livres e expressaremos a solução geral em função de parâmetros.

Passo 2

Denotando as equações originais por E_1,E_2,E_3, fazemos para eliminar x_1 em E_2 e E_3:
E_2\leftarrow 5\cdot E_2 \;-\;6\cdot E_1,\qquad E_3\leftarrow 5\cdot E_3 \;-\;3\cdot E_1.
Computando:
5\cdot E_2 = (30,\;5,\;-15,\;10\mid0), 6\cdot E_1 = (30,\;6,\;12,\;-18\mid0) \Rightarrow E_2'=(0,\;-1,\;-27,\;28\mid0).
5\cdot E_3 = (15,\;5,\;60,\;-65\mid0), 3\cdot E_1 = (15,\;3,\;6,\;-9\mid0) \Rightarrow E_3'=(0,\;2,\;54,\;-56\mid0).
O sistema fica
\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+2x_{3}-3x_{4}=0,\\\\ 0\;x_{1}-1x_{2}-27x_{3}+28x_{4}=0,\\\\ 0\;x_{1}+2x_{2}+54x_{3}-56x_{4}=0. \end{cases}

Passo 3

Agora eliminamos x_2 em E_3' e ajustamos E_2' para pivô positivo:
E_3''\leftarrow E_3'+2\cdot E_2',\qquad E_2''\leftarrow -1\cdot E_2'.
Como E_2'=(0,-1,-27,28) e E_3'=(0,2,54,-56), E_3''=(0,2,54,-56)+2\cdot(0,-1,-27,28)=(0,0,0,0),
e E_2''=(0,1,27,-28).
O sistema escalonado é
\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+2x_{3}-3x_{4}=0,\\\ \phantom{5}0x_{1}+1x_{2}+27x_{3}-28x_{4}=0,\\\ \phantom{5}0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}+0x_{4}=0. \end{cases}

Passo 4

Das duas primeiras equações extraímos as relações
\begin{cases} x_{2} + 27x_{3} - 28x_{4} = 0,\\\\ 5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} - 3x_{4} = 0. \end{cases}
Como há 4 incógnitas e apenas 2 pivôs x_1,x_2, tomamos
x_{3}=s,\quad x_{4}=t,\quad s,t\in\mathbb{R},
que são as incógnitas livres.

Passo 5

Da segunda equação obtemos
x_{2} = -27s + 28t.
Substituindo em 5x_{1}+x_{2}+2s-3t=0:
5x_{1} +(-27s+28t)+2s-3t = 0 \;\Longrightarrow\; 5x_{1} = 25s -25t \;\Longrightarrow\; x_{1} = 5s - 5t.

Passo 6

A solução geral fica
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (5s-5t,\,-27s+28t,\,s,\,t) = s\,(5,-27,1,0)\;+\;t\,(-5,28,0,1).
Geometricamente, é o espaço gerado pelos vetores (5,-27,1,0) e (-5,28,0,1), ou seja, um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^4. Trata-se da interseção de três hiperplanos passando pela origem, resultado num “plano” de dimensão 2 em \mathbb{R}^4.

Resposta

\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) \mid (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = (5s-5t,\,-27s+28t,\,s,\,t),\; s,t\in\mathbb{R}\},
um subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^4.

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