Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas. \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}=3 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=3 \\\ x_{1}+3 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}=4\end{array}\right.
usando eliminação de Gauss e, depois, interpretar geometricamente. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha para chegar a uma forma escalonada que nos permita obter (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
Passo 2
Montamos a matriz aumentada e eliminamos x_{1} nas linhas 2, 3 e 4 subtraindo a linha 1:
De L_2: x_{2}-x_{4}=-\tfrac12\implies x_{2}=-\tfrac12+1=\tfrac12.
De L_1: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\implies x_{1} + \tfrac12 +0+1 =1\implies x_{1}=-\tfrac12.
Passo 7
Geometricamente, cada equação define um hiperplano em \mathbb{R}^{4}. A eliminação mostrou que a interseção desses quatro hiperplanos é um único ponto, confirmando que o sistema é compatível determinado.
Resposta
\displaystyle x_{1}=-\tfrac12,\quad x_{2}=\tfrac12,\quad x_{3}=0,\quad x_{4}=1. Geometricamente, a interseção dos quatro hiperplanos em \mathbb{R}^{4} é um ponto.