Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}=3 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}=3 \\\ x_{1}+3 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1,\\\ x_{1}+x_{2}+3x_{3}+3x_{4}=3,\\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=3,\\\ x_{1}+3x_{2}+3x_{3}+3x_{4}=4 \end{cases}
usando eliminação de Gauss e, depois, interpretar geometricamente. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha para chegar a uma forma escalonada que nos permita obter (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x_{1} nas linhas 2, 3 e 4 subtraindo a linha 1:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 3 & 3 & 3\\\\ 1 & 1 & 2 & 3 & 3\\\\ 1 & 3 & 3 & 3 & 4 \end{array}\right] \;\xrightarrow{% \substack{L_2\leftarrow L_2-L_1\\[3pt] L_3\leftarrow L_3-L_1\\[3pt] L_4\leftarrow L_4-L_1} }\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 2 & 2 & 2 & 3 \end{array}\right]]

Passo 3

Para facilitar pivôs, trocamos L_2 com L_4 e, em seguida, escalonamos L_2 dividindo por 2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 2 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right] \;\xrightarrow{L_2\leftrightarrow L_4}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 2 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right] \;\xrightarrow{L_2\leftarrow \tfrac12L_2}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & \tfrac32\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right]

Passo 4

Eliminamos o termo em coluna 3 de L_2 e coluna 3 de L_4 usando L_3:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & \tfrac32\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right] \;\xrightarrow{% \substack{L_2\leftarrow L_2-L_3\\[3pt] L_4\leftarrow L_4-2L_3} }\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & -2 \end{array}\right]]

Passo 5

Escalonamos L_4 dividindo por -2 e identificamos o pivô de x_{4}:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & -2 \end{array}\right] \;\xrightarrow{L_4\leftarrow -\tfrac12L_4}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 6

Fazemos substituição regressiva:
  • De L_4: x_{4}=1.
  • De L_3: x_{3}+2x_{4}=2\implies x_{3}=2-2\cdot1=0.
  • De L_2: x_{2}-x_{4}=-\tfrac12\implies x_{2}=-\tfrac12+1=\tfrac12.
  • De L_1: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1\implies x_{1} + \tfrac12 +0+1 =1\implies x_{1}=-\tfrac12.

Passo 7

Geometricamente, cada equação define um hiperplano em \mathbb{R}^{4}. A eliminação mostrou que a interseção desses quatro hiperplanos é um único ponto, confirmando que o sistema é compatível determinado.

Resposta

\displaystyle x_{1}=-\tfrac12,\quad x_{2}=\tfrac12,\quad x_{3}=0,\quad x_{4}=1. Geometricamente, a interseção dos quatro hiperplanos em \mathbb{R}^{4} é um ponto.

Exercícios relacionados