Resolva o sistema de equações lineares
\left\{\begin{aligned} 8 x+5 y+2 z & =15 \\\\ 21 x+19 y+16 z & =56 \\\\ 39 x+48 y+53 z & =140 \end{aligned}\right.
utilizando o método da eliminação gaussiana. Em seguida, faça uma pequena modificação no sistema, trocando o valor 15 da primeira equação por 14, e então resolva novamente o sistema utilizando o método da eliminação gaussiana. O que se pode concluir sobre este sistema?

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por eliminação gaussiana, o sistema
\begin{cases} 8x + 5y + 2z = 15,\\\\ 21x + 19y + 16z = 56,\\\\ 39x + 48y + 53z = 140, \end{cases}
e em seguida trocar o termo independente da primeira equação de 15 para 14 e resolver de novo. Vamos triangular as equações para isolar z, depois y e finalmente x.

Passo 2

Eliminamos x\) das segunda e terceira equações usando a primeira: R2 ← R2 – \(\tfrac{21}{8}\)R1 e R3 ← R3 – \(\tfrac{39}{8}\)R1. Isso gera o sistema equivalente \[\begin{cases} 8x + 5y + 2z = 15,\\\\ 0\;+\;\tfrac{47}{8}y\;+\;\tfrac{86}{8}z = \tfrac{133}{8},\\\\ 0\;+\;\tfrac{189}{8}y\;+\;\tfrac{346}{8}z = \tfrac{535}{8}. \end{cases}
Multiplicando R2 e R3 por (8] para simplificar:
\begin{cases} 8x + 5y + 2z = 15,\\\\ 47y + 86z = 133,\\\\ 189y + 346z = 535. \end{cases}

Passo 3

Agora eliminamos y da terceira equação:
R3 ← R3 – \tfrac{189}{47}R2. O coeficiente de z em R3 fica
346 - \frac{189}{47}\cdot 86 = \frac{8}{47},
e o termo independente
535 - \frac{189}{47}\cdot 133 = \frac{8}{47}.
Logo a terceira equação reduz-se a
\frac{8}{47}\,z = \frac{8}{47}
e daí
z = 1.

Passo 4

Voltando em R2 e R1 para encontrar y e x:
Em R2:
47y + 86\cdot1 = 133 \quad\Longrightarrow\quad 47y = 47 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.
Em R1:
8x + 5\cdot1 + 2\cdot1 = 15 \quad\Longrightarrow\quad 8x + 7 = 15 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Portanto, a solução do sistema original é
(x,y,z) = (1,1,1).

Passo 5

Repetimos o mesmo procedimento trocando 15\) por \(14\) em R1. Após eliminar \(x\) e multiplicar por \(8\) obtemos \[\begin{cases} 8x + 5y + 2z = 14,\\\\ 47y + 86z = 154,\\\\ 189y + 346z = 574. \end{cases}
Eliminando (y] da terceira:
346 - \frac{189}{47}\cdot86 = \frac{8}{47}, \quad 574 - \frac{189}{47}\cdot154 = -\frac{2128}{47},
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\frac{8}{47}z = -\frac{2128}{47} \quad\Longrightarrow\quad z = -266.
Em R2:
47y + 86\cdot(-266) = 154 \quad\Longrightarrow\quad 47y = 23030 \quad\Longrightarrow\quad y = 490.
Em R1:
8x + 5\cdot490 + 2\cdot(-266) = 14 \quad\Longrightarrow\quad 8x = -1904 \quad\Longrightarrow\quad x = -238.
A solução do sistema modificado é
(x,y,z) = (-238,\,490,\,-266).

Passo 6

Comparando as duas soluções, um pequeno ajuste de 1 unidade no termo independente da primeira equação fez com que (x,y,z) saltasse de (1,1,1) para (-238,490,-266). Concluímos que, embora o sistema seja determinado (determinante não nulo), ele é mal condicionado, isto é, pequenas perturbações nos termos independentes causam grandes variações na solução.

Resposta

Sistema original: (x,y,z) = (1,1,1)
Sistema com 15\to14: (x,y,z) = (-238,490,-266)
Conclusão: o sistema é mal condicionado.

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