Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
\left\{\begin{aligned} x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+3 x_{4}-7 x_{5} & =14 \\\\ 2 x_{1}+6 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}+5 x_{5} & =-2 \\\ x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{5} & =-1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+3x_{4}-7x_{5}=14,\\\\ 2x_{1}+6x_{2}+x_{3}-2x_{4}+5x_{5}=-2,\\\ x_{1}+3x_{2}-x_{3}+2x_{5}=-1 \end{cases}
pelo método da eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e realizar operações elementares para atingir forma triangular.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\\\ 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & -2\\\\ 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & -1 \end{array}\right)

Passo 3

Zeramos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna: \mathrm{R}_2 \leftarrow \mathrm{R}_2 - 2\,\mathrm{R}_1 e \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \mathrm{R}_1.
Isso gera
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\\\ 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30\\\\ 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & -15 \end{array}\right)

Passo 4

Agora eliminamos a entrada de \mathrm{R}_3 na coluna do segundo pivô (terceira coluna): \mathrm{R}_3 \leftarrow \mathrm{R}_3 - \mathrm{R}_2, resultando em
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14\\\\ 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30\\\\ 0 & 0 & 0 & 5 & -10 & 15 \end{array}\right)

Passo 5

Fazemos substituição retroativa:
Da terceira linha,
5x_{4}-10x_{5}=15 \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=3+2x_{5}.
Da segunda linha,
-3x_{3}-8x_{4}+19x_{5}=-30 \quad\Longrightarrow\quad -3x_{3}-8(3+2x_{5})+19x_{5}=-30
\Longrightarrow\; -3x_{3}+3x_{5}-24=-30 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=2+x_{5}.
Da primeira linha,
x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+3x_{4}-7x_{5}=14
substituindo x_{3} e x_{4} obtemos
x_{1}+3x_{2}+2(2+x_{5})+3(3+2x_{5})-7x_{5}=14 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1-3x_{2}-x_{5}.
Definimos parâmetros livres \;x_{2}=s,\;x_{5}=t.

Passo 6

Em resumo, a solução geral é
\begin{cases} x_{1}=1-3s - t,\\\ x_{2}=s,\\\ x_{3}=2 + t,\\\ x_{4}=3 +2t,\\\ x_{5}=t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.
Geometricamente, trata-se da intersecção de três hiperplanos em \mathbb{R}^{5}, que é um subespaço afim de dimensão 5-3=2 (um “plano” afim de dois parâmetros).

Resposta

\boxed{x_{1}=1-3s - t,\;x_{2}=s,\;x_{3}=2+t,\;x_{4}=3+2t,\;x_{5}=t,\quad s,t\in\mathbb{R}.}
A solução é um plano afim de dimensão 2 em \mathbb{R}^{5}.

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