Encontre ângulos \alpha, \beta e \gamma tais que
\left\{\begin{array}{r} 2 \operatorname{sen} \alpha-\cos \beta+\operatorname{tg} \gamma=3 \\\\ 4 \operatorname{sen} \alpha+2 \cos \beta-2 \operatorname{tg} \gamma=2 \\\\ 6 \operatorname{sen} \alpha-3 \cos \beta+\operatorname{tg} \gamma=9 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 2\operatorname{sen} \alpha - \cos \beta + \operatorname{tg} \gamma = 3,\\\\ 4\operatorname{sen} \alpha + 2\cos \beta -2\operatorname{tg} \gamma = 2,\\\\ 6\operatorname{sen} \alpha -3\cos \beta + \operatorname{tg} \gamma = 9, \end{cases}
e pede os ângulos \alpha,\beta,\gamma. O conteúdo necessário é resolução de sistema linear para as quantidades \operatorname{sen}\alpha, \cos\beta e \operatorname{tg}\gamma, seguido de invertê-las via arcos, arcsen e arctan.

Passo 2

Definimos as variáveis
x = \operatorname{sen}\alpha,\quad y = \cos\beta,\quad z = \operatorname{tg}\gamma.
Então o sistema vira
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\\\ 4x +2y -2z = 2,\\\\ 6x -3y + z = 9. \end{cases}

Passo 3

Usamos eliminação. Da primeira equação 2x - y + z = 3 note que a terceira é
6x -3y + z = 9.
Multiplicando a primeira por 3 dá
6x -3y +3z = 9.
Subtraindo da terceira:
(6x -3y + z) - (6x -3y +3z) = 9 - 9 \;\implies\;-2z = 0 \;\implies\;z = 0.

Passo 4

Com z=0, a primeira equação fica
2x - y = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = 2x -3,
e a segunda
4x +2y = 2.
Substituindo y:
4x +2(2x-3) = 2 \;\implies\;4x +4x -6 = 2 \;\implies\;8x = 8 \;\implies\;x = 1,
logo
y = 2\cdot1 -3 = -1.
Portanto
\operatorname{sen}\alpha = 1,\quad \cos\beta = -1,\quad \operatorname{tg}\gamma = 0.

Passo 5

Para obter os ângulos, usamos as inversas trigonométricas gerais:
\operatorname{sen}\alpha = 1 \;\implies\; \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,
\cos\beta = -1 \;\implies\; \beta = \pi + 2\pi m,
\operatorname{tg}\gamma = 0 \;\implies\; \gamma = n\pi,
com k,m,n\in\mathbb{Z}.

Resposta

\alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k,\; \beta = \pi + 2\pi m,\; \gamma = n\pi,\quad k,m,n\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados