A fatoração de Cholesky é uma técnica para resolver sistemas lineares onde a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva. Vamos precisar verificar se nossa matriz é simétrica e definida positiva antes de aplicar a fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a matriz dos coeficientes é simétrica:
A = 20 & 7 & 9 7 & 30 & 8 9 & 8 & 30
Como podemos ver, A é igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso significa que a matriz é simétrica.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz A é definida positiva. Isso significa que todos os seus menores principais têm determinantes positivos.
O primeiro menor principal é 20, que é positivo.
O segundo menor principal é:
det 20 & 7 7 & 30 = (20 times 30) - (7 times 7) = 600 - 49 = 551 > 0
O determinante completo da matriz A é:
det(A) = 20 times (30 times 30 - 8 times 8) - 7 times (7 times 30 - 8 times 9) + 9 times (7 times 8 - 30 times 9) = 16720 - 966 - 1926 = 13828 > 0
Como todos os menores principais têm determinantes positivos, a matriz A é definida positiva.
Passo 4
Agora que confirmamos que podemos usar a fatoração de Cholesky, vamos encontrar uma matriz triangular inferior L tal que A = LL^T. A matriz L terá a forma: