Resolva os sistemas lineares abaixo usando a fatoração de Cholesky:
b)c 20 x1+7 x2+9 x3=16 7 x1+30 x2+8 x3=38 9 x1+8 x2+30 x3=38

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a fatoração de Cholesky. Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui. O sistema é:
20 x1 + 7 x2 + 9 x3 = 16 7 x1 + 30 x2 + 8 x3 = 38 9 x1 + 8 x2 + 30 x3 = 38
A fatoração de Cholesky é uma técnica para resolver sistemas lineares onde a matriz dos coeficientes é simétrica e definida positiva. Vamos precisar verificar se nossa matriz é simétrica e definida positiva antes de aplicar a fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a matriz dos coeficientes é simétrica:
A = 20 & 7 & 9 7 & 30 & 8 9 & 8 & 30
Como podemos ver, A é igual à sua transposta, ou seja, A = A^T. Isso significa que a matriz é simétrica.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz A é definida positiva. Isso significa que todos os seus menores principais têm determinantes positivos.
  1. O primeiro menor principal é 20, que é positivo.
  2. O segundo menor principal é:
det 20 & 7 7 & 30 = (20 times 30) - (7 times 7) = 600 - 49 = 551 > 0
  1. O determinante completo da matriz A é:
det(A) = 20 times (30 times 30 - 8 times 8) - 7 times (7 times 30 - 8 times 9) + 9 times (7 times 8 - 30 times 9) = 16720 - 966 - 1926 = 13828 > 0
Como todos os menores principais têm determinantes positivos, a matriz A é definida positiva.

Passo 4

Agora que confirmamos que podemos usar a fatoração de Cholesky, vamos encontrar uma matriz triangular inferior L tal que A = LL^T. A matriz L terá a forma:
L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33
Vamos calcular os elementos de L passo a passo:
  1. Calcular l11:
l11 = raizA11 = raiz20 approx 4.4721
  1. Calcular l21:
l21 = A21l11 = 74.4721 approx 1.5667
  1. Calcular l31:
l31 = A31l11 = 94.4721 approx 2.0125
  1. Calcular l22:
l22 = raizA22 - l21^2 = raiz30 - (1.5667)^2 approx raiz30 - 2.4545 approx raiz27.5455 approx 5.2493
  1. Calcular l32:
l32 = A32 - l31 times l21l22 = 8 - (2.0125 times 1.5667)5.2493 approx 8 - 3.15635.2493 approx 4.84375.2493 approx 0.9235
  1. Calcular l33:
l33 = raizA33 - l31^2 - l32^2 = raiz30 - (2.0125)^2 - (0.9235)^2 approx raiz30 - 4.0501 - 0.8525 approx raiz25.0974 approx 5.0097
Então, a matriz L é aproximadamente:
L approx 4.4721 & 0 & 0 1.5667 & 5.2493 & 0 2.0125 & 0.9235 & 5.0097

Passo 5

Agora que temos L, podemos resolver o sistema LL^T x = b em duas etapas:
  1. Primeiramente, resolvemos Ly = b para y.
  2. Em seguida, resolvemos L^T x = y para x.
Vamos fazer isso passo a passo.
1. Resolver Ly = b:
O sistema Ly = b fica:
4.4721 y1 = 16 1.5667 y1 + 5.2493 y2 = 38 2.0125 y1 + 0.9235 y2 + 5.0097 y3 = 38
  • Encontrar y1:
y1 = 164.4721 approx 3.5777
  • Encontrar y2:
1.5667 times 3.5777 + 5.2493 y2 = 38 5.6 + 5.2493 y2 = 38 5.2493 y2 = 38 - 5.6 5.2493 y2 = 32.4 y2 = 32.45.2493 approx 6.1763
  • Encontrar y3:
2.0125 times 3.5777 + 0.9235 times 6.1763 + 5.0097 y3 = 38 7.1987 + 5.7003 + 5.0097 y3 = 38 12.8990 + 5.0097 y3 = 38 5.0097 y3 = 38 - 12.8990 5.0097 y3 = 25.101 y3 = 25.1015.0097 approx 5.0012
Então, temos:
y approx 3.5777 6.1763 5.0012
2. Resolver L^T x = y:
O sistema L^T x = y fica:
4.4721 x1 + 1.5667 x2 + 2.0125 x3 = 3.5777 5.2493 x2 + 0.9235 x3 = 6.1763 5.0097 x3 = 5.0012
  • Encontrar x3:
x3 = 5.00125.0097 approx 0.9983
  • Encontrar x2:
5.2493 x2 + 0.9235 times 0.9983 = 6.1763 5.2493 x2 + 0.9230 = 6.1763 5.2493 x2 = 6.1763 - 0.9230 5.2493 x2 = 5.2533 x2 = 5.25335.2493 approx 1.0008
  • Encontrar x1:
4.4721 x1 + 1.5667 times 1.0008 + 2.0125 times 0.9983 = 3.5777 4.4721 x1 + 1.5682 + 2.008 = 3.5777 4.4721 x1 + 3.5762 = 3.5777 4.4721 x1 = 3.5777 - 3.5762 4.4721 x1 = 0.0015 x1 = 0.00154.4721 approx 0.0003

Resposta

A solução aproximada do sistema é:
x1 approx 0.0003 x2 approx 1.0008 x3 approx 0.9983

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