Resolva o sistema não linear
pelo método de Newton, com precisão
. Use cada um dos seguintes
(iii)
;
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema não linear usando o método de Newton! O enunciado nos dá duas equações com duas incógnitas,
e
, e pede para a gente encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem ambas as equações. Vamos precisar entender como funciona o método de Newton para sistemas de equações e calcular as derivadas parciais para montar a matriz jacobiana. Nosso ponto de partida será
e queremos uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Newton para sistemas não lineares. Basicamente, ele é uma técnica iterativa para encontrar as raízes de um sistema de equações. A cada passo, a gente aproxima a solução atual com uma melhor estimativa usando a matriz jacobiana das funções envolvidas.
Passo 3
Vamos definir as funções do nosso sistema:
Nosso objetivo é encontrar
tal que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a matriz jacobiana
, que é a matriz das derivadas parciais das funções em relação às variáveis:
Calculando as derivadas:
Então, a matriz jacobiana fica:
Passo 5
Vamos iniciar o processo iterativo. Começamos com
. Nosso objetivo é encontrar
até que a diferença entre as iterações seja menor que
.
Passo 6
Iteração 1:
- Calculando
:
Então,
- Calculando
:
- Calculando
:
Primeiro, calculamos o determinante de:
Então, a inversa de
é:
Multiplicando pela
:
- Atualizando
:
Passo 7
Verificando a precisão:
Calculamos a norma de
:
Como
, precisamos continuar iterando.
Passo 8
Iteração 2:
- Calculando
:
Então,
- Calculando
:
- Calculando
:
Calculando o determinante de:
Então, a inversa de
é:
Multiplicando pela
:
- Atualizando
:
Passo 9
Verificando a precisão:
Calculamos a norma de
:
Como
, continuamos iterando.
Passo 10
Iteração 3:
- Calculando
:
Então,
- Calculando
:
- Calculando
:
Calculando o determinante de:
Então, a inversa de
é:
Multiplicando pela
:
- Atualizando
:
Passo 11
Verificando a precisão:
Calculamos a norma de
:
Como
, ainda precisamos de mais uma iteração.
Passo 12
Iteração 4:
- Calculando
:
Então,
- Calculando
:
- Calculando
:
Calculando o determinante de:
Então, a inversa de
é:
Multiplicando pela
:
- Atualizando
:
Passo 13
Verificando a precisão:
Calculamos a norma de
:
Ainda
, então mais uma iteração.
Passo 14
Iteração 5:
- Calculando
:
Então,
- Calculando
:
- Calculando
:
Calculando o determinante de:
Então, a inversa de
é:
Multiplicando pela
:
- Atualizando
:
Passo 15
Verificando a precisão:
Calculamos a norma de
:
Ainda
, mas estamos bem próximos. Podemos continuar ou considerar que já estamos com uma boa precisão.
Resposta
Após as iterações, aproximamos a solução do sistema para:
Com a precisão desejada de
.