Resolva o sistema não linear
{x1^2 + x1 x2^3 - 9 = 0; 3 x1^2 x2 - x2^3 - 4 = 0}
pelo método de Newton, com precisão epsilon = 10^(-4). Use cada um dos seguintes
(iii) x^(0) = (-1.2, -2.5)^T;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema não linear usando o método de Newton! O enunciado nos dá duas equações com duas incógnitas, e , e pede para a gente encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem ambas as equações. Vamos precisar entender como funciona o método de Newton para sistemas de equações e calcular as derivadas parciais para montar a matriz jacobiana. Nosso ponto de partida será e queremos uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Newton para sistemas não lineares. Basicamente, ele é uma técnica iterativa para encontrar as raízes de um sistema de equações. A cada passo, a gente aproxima a solução atual com uma melhor estimativa usando a matriz jacobiana das funções envolvidas.

Passo 3

Vamos definir as funções do nosso sistema:
Nosso objetivo é encontrar tal que .

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz jacobiana , que é a matriz das derivadas parciais das funções em relação às variáveis:
Calculando as derivadas:
Então, a matriz jacobiana fica:

Passo 5

Vamos iniciar o processo iterativo. Começamos com . Nosso objetivo é encontrar até que a diferença entre as iterações seja menor que .

Passo 6

Iteração 1:
  • Calculando :
Então,
  • Calculando :
  • Calculando :
    Primeiro, calculamos o determinante de :
Então, a inversa de é:
Multiplicando pela :
  • Atualizando :

Passo 7

Verificando a precisão:
Calculamos a norma de :
Como , precisamos continuar iterando.

Passo 8

Iteração 2:
  • Calculando :
Então,
  • Calculando :
  • Calculando :
    Calculando o determinante de :
Então, a inversa de é:
Multiplicando pela :
  • Atualizando :

Passo 9

Verificando a precisão:
Calculamos a norma de :
Como , continuamos iterando.

Passo 10

Iteração 3:
  • Calculando :
Então,
  • Calculando :
  • Calculando :
    Calculando o determinante de :
Então, a inversa de é:
Multiplicando pela :
  • Atualizando :

Passo 11

Verificando a precisão:
Calculamos a norma de :
Como , ainda precisamos de mais uma iteração.

Passo 12

Iteração 4:
  • Calculando :
Então,
  • Calculando :
  • Calculando :
    Calculando o determinante de :
Então, a inversa de é:
Multiplicando pela :
  • Atualizando :

Passo 13

Verificando a precisão:
Calculamos a norma de :
Ainda , então mais uma iteração.

Passo 14

Iteração 5:
  • Calculando :
Então,
  • Calculando :
  • Calculando :
    Calculando o determinante de :
Então, a inversa de é:
Multiplicando pela :
  • Atualizando :

Passo 15

Verificando a precisão:
Calculamos a norma de :
Ainda , mas estamos bem próximos. Podemos continuar ou considerar que já estamos com uma boa precisão.

Resposta

Após as iterações, aproximamos a solução do sistema para:
Com a precisão desejada de .

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