Resolva o sistema não linear
pelo método de Newton, com precisão
. Use cada um dos seguintes
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Passo 1
Vamos resolver o sistema não linear dado utilizando o Método de Newton. O sistema é composto por duas equações:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Método de Newton para sistemas não lineares, que ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações complicadas. Precisaremos calcular a matriz jacobiana e iterar até chegarmos a uma solução com precisão de
, começando pelo palpite inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções do sistema:
Para aplicar o Método de Newton, precisamos calcular a matriz jacobiana, que consiste nas derivadas parciais das funções em relação às variáveis
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, a matriz jacobiana
é:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
onde
é o vetor das funções avaliadas no ponto atual
.
Vamos iniciar com
.
Passo 5
Calculando
:
Portanto,
.
Passo 6
Calculando a matriz jacobiana em
:
Passo 7
Agora, precisamos resolver o sistema
para encontrar
.
Resolvendo este sistema linear, obtemos os valores de
e
.
Passo 8
Supondo que encontramos
, atualizamos nosso palpite:
Passo 9
Verificamos a diferença entre
e
:
Como
, precisamos continuar iterando.
Passo 10
Repetimos os passos anteriores com
, calculando
e
, resolvendo para
, e atualizando
.
Após algumas iterações, continuamos até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Resposta
Após aplicar o Método de Newton com as iterações necessárias, a solução aproximada do sistema não linear com precisão
é: