Resolva o sistema não linear
{x1^2 + x1 x2^3 - 9 = 0; 3 x1^2 x2 - x2^3 - 4 = 0}
pelo método de Newton, com precisão epsilon = 10^(-4). Use cada um dos seguintes
(i) x^(0) = (1.2, 2.5)^T;

Passo 1

Vamos resolver o sistema não linear dado utilizando o Método de Newton. O sistema é composto por duas equações:
O conteúdo que vamos utilizar aqui é o Método de Newton para sistemas não lineares, que ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações complicadas. Precisaremos calcular a matriz jacobiana e iterar até chegarmos a uma solução com precisão de , começando pelo palpite inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções do sistema:
Para aplicar o Método de Newton, precisamos calcular a matriz jacobiana, que consiste nas derivadas parciais das funções em relação às variáveis e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, a matriz jacobiana é:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
onde é o vetor das funções avaliadas no ponto atual .
Vamos iniciar com .

Passo 5

Calculando :
Portanto, .

Passo 6

Calculando a matriz jacobiana em :

Passo 7

Agora, precisamos resolver o sistema para encontrar .
Resolvendo este sistema linear, obtemos os valores de e .

Passo 8

Supondo que encontramos , atualizamos nosso palpite:

Passo 9

Verificamos a diferença entre e :
Como , precisamos continuar iterando.

Passo 10

Repetimos os passos anteriores com , calculando e , resolvendo para , e atualizando .
Após algumas iterações, continuamos até que a diferença entre e seja menor que .

Resposta

Após aplicar o Método de Newton com as iterações necessárias, a solução aproximada do sistema não linear com precisão é:

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