Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e relevantes:
- A função integranda é
. - Queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) e devemos adicionar a constante de integração
. - Não há restrições adicionais no enunciado (domínio: toda
, já que sempre).
Passo 2
Escolha do método: um método padrão para expressões com
é a substituição trigonométrica
. Essa substituição simplifica
usando a identidade
. Vou usar aqui
, ou seja
. Depois eu mostro uma forma alternativa (atalho) que é útil na prova: reconhecer a primitiva pela diferenciação.
Passo 3
Fazendo a substituição trigonométrica:
Calculamos
e a expressão dentro da raiz:
Logo
Passo 4
Substituímos tudo na integral:
Agora simplificamos os fatores numéricos e trigonométricos:
o fator cancela, e
. Portanto
o fator
Passo 5
Integramos em
:
Agora voltamos para
. Da substituição
temos
. Num triângulo retângulo que representa
, podemos tomar cateto oposto
, cateto adjacente
e hipotenusa
. Assim
Substituindo:
Passo 6
Verificação alternativa (atalho útil em prova): podemos verificar que a função
é uma primitiva calculando
. Para isso escrevemos
e aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Primeiro, derivando
fica
. Depois derivamos
usando a regra da cadeia:
Agora pela regra do produto:
Colocando sobre o denominador comum
:
Multiplicando pelo fator
que está em
obtemos
que é exatamente a integranda. Isso confirma a primitiva encontrada.
Passo 7
Fórmula geral (lembrança rápida para a prova): para
,
que é o mesmo formato que usamos com
.