Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{1}{\left(3+x^{2}\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\left(3+x^{2}\right)^{3/2}}\,dx.
Informações dadas e relevantes:
  • A função integranda é \dfrac{1}{(3+x^{2})^{3/2}}.
  • Queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) e devemos adicionar a constante de integração C.
  • Não há restrições adicionais no enunciado (domínio: toda \mathbb{R}, já que 3+x^2>0 sempre).

Passo 2

Escolha do método: um método padrão para expressões com \sqrt{a^{2}+x^{2}} é a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. Essa substituição simplifica \sqrt{a^{2}+x^{2}} usando a identidade 1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta. Vou usar aqui a=\sqrt{3}, ou seja x=\sqrt{3}\tan\theta. Depois eu mostro uma forma alternativa (atalho) que é útil na prova: reconhecer a primitiva pela diferenciação.

Passo 3

Fazendo a substituição trigonométrica:
x=\sqrt{3}\tan\theta.
Calculamos dx e a expressão dentro da raiz:
dx=\sqrt{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
3+x^{2}=3+\left(\sqrt{3}\tan\theta\right)^{2}=3\left(1+\tan^{2}\theta\right)=3\operatorname{sec}^{2}\theta.
Logo
(3+x^{2})^{3/2}=\big(3\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{3/2}=3^{3/2}\operatorname{sec}^{3}\theta=3\sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{3}\theta.

Passo 4

Substituímos tudo na integral:
\int \frac{1}{(3+x^{2})^{3/2}}\,dx =\int \frac{1}{3\sqrt{3}\,\operatorname{sec}^{3}\theta}\cdot \big(\sqrt{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\big)\,d\theta.
Agora simplificamos os fatores numéricos e trigonométricos:
o fator \sqrt{3} cancela, e \operatorname{sec}^{2}\theta/\operatorname{sec}^{3}\theta=1/\operatorname{sec}\theta=\cos\theta. Portanto
\int \frac{1}{(3+x^{2})^{3/2}}\,dx =\int \frac{1}{3}\cos\theta\,d\theta =\frac{1}{3}\int \cos\theta\,d\theta.

Passo 5

Integramos em \theta:
\frac{1}{3}\int \cos\theta\,d\theta=\frac{1}{3}\sin\theta + C.
Agora voltamos para x. Da substituição x=\sqrt{3}\tan\theta temos \tan\theta=\dfrac{x}{\sqrt{3}}. Num triângulo retângulo que representa \theta, podemos tomar cateto oposto =x, cateto adjacente =\sqrt{3} e hipotenusa \sqrt{3+x^{2}}. Assim
\sin\theta=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}.
Substituindo:
\frac{1}{3}\sin\theta + C = \frac{1}{3}\cdot\frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}+C =\frac{x}{3\sqrt{3+x^{2}}}+C.

Passo 6

Verificação alternativa (atalho útil em prova): podemos verificar que a função
F(x)=\frac{x}{3\sqrt{3+x^{2}}}
é uma primitiva calculando F'(x). Para isso escrevemos F(x)=\dfrac{1}{3}\,x(3+x^{2})^{-1/2} e aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Primeiro, derivando x fica 1. Depois derivamos (3+x^{2})^{-1/2} usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(3+x^{2})^{-1/2}=-\tfrac{1}{2}(3+x^{2})^{-3/2}\cdot 2x = -x(3+x^{2})^{-3/2}.
Agora pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\big[x(3+x^{2})^{-1/2}\big] =1\cdot(3+x^{2})^{-1/2} + x\cdot\big(-x(3+x^{2})^{-3/2}\big) =(3+x^{2})^{-1/2}-x^{2}(3+x^{2})^{-3/2}.
Colocando sobre o denominador comum (3+x^{2})^{3/2}:
(3+x^{2})^{-1/2}-x^{2}(3+x^{2})^{-3/2} =\frac{3+x^{2}-x^{2}}{(3+x^{2})^{3/2}} =\frac{3}{(3+x^{2})^{3/2}}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} que está em F(x) obtemos
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{(3+x^{2})^{3/2}}=\frac{1}{(3+x^{2})^{3/2}},
que é exatamente a integranda. Isso confirma a primitiva encontrada.

Passo 7

Fórmula geral (lembrança rápida para a prova): para a>0,
\int \frac{1}{(a^{2}+x^{2})^{3/2}}\,dx=\frac{x}{a^{2}\sqrt{a^{2}+x^{2}}}+C,
que é o mesmo formato que usamos com a^{2}=3.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{3\sqrt{3+x^{2}}}+C

Exercícios relacionados