Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{x^{2}-4 x+4}{(x+1)\left(x^{2}+2 x+412\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x^{2}-4 x+4}{(x+1)\left(x^{2}+2 x+412\right)}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
\text{numerador: }x^{2}-4x+4,
\text{denominador: }(x+1)\bigl(x^{2}+2x+412\bigr).
O denominador é produto de um fator linear \,(x+1)\, e um fator quadrático \,x^{2}+2x+412\,. O objetivo é calcular a primitiva (integral indefinida) desta função racional.

Passo 2

Vamos decompor a fração em parcelas simples (método de frações parciais), ou seja, procurar constantes A,B,C tais que
\frac{x^{2}-4x+4}{(x+1)\bigl(x^{2}+2x+412\bigr)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+2x+412}.
Esse é um passo padrão: como o denominador é produto de um linear e um quadrático irredutível, a forma acima é a correta para a decomposição. Agora multiplicamos ambos os lados por (x+1)(x^{2}+2x+412) para obter uma identidade polinomial:
x^{2}-4x+4 = A\bigl(x^{2}+2x+412\bigr) + (Bx+C)(x+1).

Passo 3

Expandindo o lado direito e agrupando termos semelhantes:
A x^{2}+2A x+412A + Bx^{2} + (B+C)x + C.
Somando coeficientes dos mesmos poderes de x\) obtemos \[(A+B)x^{2} + (2A+B+C)x + (412A + C).
Comparando com o lado esquerdo x^{2}-4x+4 vem o sistema:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 2A + B + C = -4,\\[4pt] 412A + C = 4. \end{cases}
Resolvendo: da primeira equação B=1-A\]. Da terceira \(C=4-412A. Substituindo na segunda:
2A + (1-A) + (4-412A) = -4.
Simplificando:
2A +1 -A +4 -412A = -4 \quad\Rightarrow\quad -411A +5 = -4.
Logo
-411A = -9 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{9}{411}=\frac{3}{137}.
Então
B = 1 - A = 1 - \frac{3}{137} = \frac{134}{137},
C = 4 - 412A = 4 - 412\cdot\frac{3}{137} = \frac{-688}{137}.
Verificação rápida: C-B = \dfrac{-688-134}{137}=\dfrac{-822}{137}=-6 (fica uma simplificação agradável que usaremos adiante).]

Passo 4

Reescrevendo a integral com a decomposição:
\int \frac{x^{2}-4x+4}{(x+1)\bigl(x^{2}+2x+412\bigr)}\,dx = \int \frac{A}{x+1}\,dx + \int \frac{Bx+C}{x^{2}+2x+412}\,dx.
Substituímos os valores de A,B,C:
= \int \frac{3/137}{x+1}\,dx + \int \frac{\tfrac{134}{137}x - \tfrac{688}{137}}{x^{2}+2x+412}\,dx.
Agora trataremos a segunda integral. Primeiro completamos o quadrado no denominador:
x^{2}+2x+412=(x+1)^{2}+411,
pois (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1 e 412=1+411.
Para integrar \dfrac{Bx+C}{(x+1)^{2}+411} escrevemos o numerador como combinação da derivada do denominador e uma constante:
Bx+C = \frac{B}{2}\cdot (2x+2) + (C-B).
Observe que 2x+2 é a derivada de (x+1)^{2}+411. Assim
\frac{Bx+C}{(x+1)^{2}+411} = \frac{B}{2}\cdot\frac{2x+2}{(x+1)^{2}+411} + \frac{C-B}{(x+1)^{2}+411}.
Integrando cada parte:
  • Para a primeira parte usamos a substituição direta: se u=(x+1)^{2}+411 então du= (2x+2)\,dx, portanto
\int \frac{2x+2}{(x+1)^{2}+411}\,dx = \ln\bigl((x+1)^{2}+411\bigr) + \text{constante}.
  • Para a segunda parte usamos a fórmula padrão
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Aqui u=x+1 e a=\sqrt{411}, logo
\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+411} = \frac{1}{\sqrt{411}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{411}}\right)+C.

Passo 5

Agora juntamos tudo, usando os valores numéricos já obtidos. Lembrando que \dfrac{B}{2}=\dfrac{134}{137}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{67}{137} e C-B=-6:
\int \frac{x^{2}-4x+4}{(x+1)\bigl(x^{2}+2x+412\bigr)}\,dx = \frac{3}{137}\int \frac{dx}{x+1} + \frac{67}{137}\int \frac{2x+2}{(x+1)^{2}+411}\,dx -6\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+411}.
Integrando cada termo:
\frac{3}{137}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{3}{137}\ln|x+1|,
\frac{67}{137}\int \frac{2x+2}{(x+1)^{2}+411}\,dx = \frac{67}{137}\ln\bigl((x+1)^{2}+411\bigr),
-6\int \frac{dx}{(x+1)^{2}+411} = -\frac{6}{\sqrt{411}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{411}}\right).
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva final.

Resposta

\frac{3}{137}\ln|x+1|+\frac{67}{137}\ln\bigl((x+1)^{2}+411\bigr)-\frac{6}{\sqrt{411}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{411}}\right)+C

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