Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} t+x+y-3 z & =1 \\\\ 2 t+3 x+3 y+z & =0 \text {; } \\\\ -2 t+2 x+y+z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com as incógnitas t,x,y,z\) e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss-Jordan. As equações são: \[\begin{cases} t + x + y - 3z = 1,\\[4pt] 2t + 3x + 3y + z = 0,\\[4pt] -2t + 2x + y + z = 4. \end{cases}
Informações relevantes:
  • Existem 3 equações e 4 incógnitas ((t,x,y,z]), então é plausível esperar infinitas soluções paramétricas (uma variável livre).
  • Vou montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha para chegar à forma reduzida (RREF) e expressar as incógnitas possivelmente em função de um parâmetro.]

Passo 2

Breve explicação do método (Gauss-Jordan), em linguagem simples:
  • Monta-se a matriz aumentada que contém os coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos constantes.
  • Aplica-se somente três tipos de operações nas linhas: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não zero; (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo do Gauss-Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF): uma matriz em que cada pivô (primeiro elemento não nulo de uma linha) é 1, os pivôs estão todos em colunas diferentes e são os únicos elementos não nulos nessas colunas. Assim lemos as incógnitas diretamente.
  • Se houver menos pivôs do que incógnitas, as colunas sem pivô correspondem a variáveis livres (parametrizáveis).

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada associada ao sistema, na ordem das incógnitas (t,x,y,z):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & -3 & 1\\[4pt] 2 & 3 & 3 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 2 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Vamos eliminar abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha para zerar as entradas debaixo).
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: R_2: \;[2-2\cdot1,\; 3-2\cdot1,\; 3-2\cdot1,\; 1-2(-3),\; 0-2\cdot1] =[0,\;1,\;1,\;7,\;-2].
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1: R_3: \;[-2+2\cdot1,\; 2+2\cdot1,\; 1+2\cdot1,\; 1+2(-3),\; 4+2\cdot1] =[0,\;4,\;3,\;-5,\;6].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 7 & -2\\[4pt] 0 & 4 & 3 & -5 & 6 \end{array}\right].]

Passo 5

Usar a segunda linha (pivô em coluna 2) para zerar a entrada abaixo (coluna 2, linha 3).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2: R_3: \;[0-4\cdot0,\;4-4\cdot1,\;3-4\cdot1,\;-5-4\cdot7,\;6-4(-2)] =[0,\;0,\;-1,\;-33,\;14].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 7 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -33 & 14 \end{array}\right].
Tornar o pivô da terceira linha igual a 1 multiplicando R_3 por -1:
R_3 \leftarrow -R_3 \quad\Rightarrow\quad R_3=[0,\;0,\;1,\;33,\;-14].]

Passo 6

Fazer a eliminação acima do pivô da terceira coluna (Gauss-Jordan requer zerar também acima):
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_3: R_2: \;[0,\;1,\;1-1,\;7-33,\;-2-(-14)] =[0,\;1,\;0,\;-26,\;12].
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_3: R_1: \;[1,\;1,\;1-1,\;-3-33,\;1-(-14)] =[1,\;1,\;0,\;-36,\;15].
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & -36 & 15\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -26 & 12\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 33 & -14 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora zerar a entrada acima do pivô da segunda coluna para obter a forma reduzida:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2: R_1: \;[1-0,\;1-1,\;0-0,\;-36-(-26),\;15-12] =[1,\;0,\;0,\;-10,\;3].
A matriz está na forma escalonada reduzida:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -10 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -26 & 12\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 33 & -14 \end{array}\right].]

Passo 8

Interpretando cada linha como uma equação:
\begin{aligned} \text{(linha 1)}\;&: \; t - 10z = 3,\\[4pt] \text{(linha 2)}\;&: \; x - 26z = 12,\\[4pt] \text{(linha 3)}\;&: \; y + 33z = -14. \end{aligned}
A coluna correspondente a z não tem pivô, portanto z é variável livre. Escolhe-se um parâmetro para z; chamo-o de \lambda, com \lambda\in\mathbb{R}, e escrevo z=\lambda. Substituindo:
\begin{aligned} t &= 3 + 10\lambda,\\[4pt] x &= 12 + 26\lambda,\\[4pt] y &= -14 - 33\lambda,\\[4pt] z &= \lambda. \end{aligned}
(Isto é uma parametrização da família infinita de soluções; a solução é uma reta no espaço \mathbb{R}^4.)]

Resposta

t=3+10\lambda
x=12+26\lambda
y=-14-33\lambda
z=\lambda

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