Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan. \left\{\begin{aligned} t+x+y-3 z & =1 \\\\ 2 t+3 x+3 y+z & =0 \text {; } \\\\ -2 t+2 x+y+z & =4\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com as incógnitas t,x,y,z\) e pede para resolvê-lo pelo método de Gauss-Jordan. As equações são:
\[\begin{cases} t + x + y - 3z = 1,\\[4pt] 2t + 3x + 3y + z = 0,\\[4pt] -2t + 2x + y + z = 4. \end{cases}
Informações relevantes:
Existem 3 equações e 4 incógnitas ((t,x,y,z]), então é plausível esperar infinitas soluções paramétricas (uma variável livre).
Vou montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares de linha para chegar à forma reduzida (RREF) e expressar as incógnitas possivelmente em função de um parâmetro.]
Passo 2
Breve explicação do método (Gauss-Jordan), em linguagem simples:
Monta-se a matriz aumentada que contém os coeficientes das incógnitas e a coluna dos termos constantes.
Aplica-se somente três tipos de operações nas linhas: (i) trocar duas linhas; (ii) multiplicar uma linha por um escalar não zero; (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo do Gauss-Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF): uma matriz em que cada pivô (primeiro elemento não nulo de uma linha) é 1, os pivôs estão todos em colunas diferentes e são os únicos elementos não nulos nessas colunas. Assim lemos as incógnitas diretamente.
Se houver menos pivôs do que incógnitas, as colunas sem pivô correspondem a variáveis livres (parametrizáveis).
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada associada ao sistema, na ordem das incógnitas (t,x,y,z):
\begin{aligned} \text{(linha 1)}\;&: \; t - 10z = 3,\\[4pt] \text{(linha 2)}\;&: \; x - 26z = 12,\\[4pt] \text{(linha 3)}\;&: \; y + 33z = -14. \end{aligned}
A coluna correspondente a z não tem pivô, portanto z é variável livre. Escolhe-se um parâmetro para z; chamo-o de \lambda, com \lambda\in\mathbb{R}, e escrevo z=\lambda. Substituindo:
\begin{aligned} t &= 3 + 10\lambda,\\[4pt] x &= 12 + 26\lambda,\\[4pt] y &= -14 - 33\lambda,\\[4pt] z &= \lambda. \end{aligned}
(Isto é uma parametrização da família infinita de soluções; a solução é uma reta no espaço \mathbb{R}^4.)]