Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} x+6 y-8 z & =1 \\\\ 2 x+6 y-4 z & =0\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear, usando o Método de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{aligned} x+6y-8z&=1,\\[4pt] 2x+6y-4z&=0. \end{aligned}\right.
Informações dadas:
  • Duas equações e três incógnitas x,y,z.
  • É pedido explicitamente usar o Método de Gauss-Jordan (reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas).
    O objetivo final é encontrar todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem as duas equações simultaneamente.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação; a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 2 & 6 & -4 & 0 \end{array}\right].]

Passo 3

Explicando o Método de Gauss-Jordan (rápido, na prática):
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (RREF), onde cada linha com pivô tem um 1 na posição do pivô e zeros em toda a coluna do pivô; assim lemos diretamente as incógnitas.
  • Operações permitidas (elementares): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a um múltiplo de uma linha outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
  • Estratégia: usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô para zerar abaixo; depois obter pivô 1 na segunda linha e zerar acima dele.

Passo 4

Zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (usar R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1):
Calcular cada entrada de R_2:
  • Primeira coluna: 2-2\cdot1=0.
  • Segunda coluna: 6-2\cdot6=6-12=-6.
  • Terceira coluna: -4-2\cdot(-8)=-4+16=12.
  • Termo independente: 0-2\cdot1=-2.
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 0 & -6 & 12 & -2 \end{array}\right].]

Passo 5

Normalizar a segunda linha para obter pivô 1 na segunda coluna (usar R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-6}R_2):
Dividindo cada entrada de R_2 por -6:
  • Segunda coluna: -6/(-6)=1.
  • Terceira coluna: 12/(-6)=-2.
  • Termo independente: -2/(-6)=\dfrac{1}{3}.
Matriz agora:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 6 & -8 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & \dfrac{1}{3} \end{array}\right].]

Passo 6

Zerar o elemento acima do pivô da segunda coluna para ter zero na posição (1,2) (usar R_1 \leftarrow R_1 - 6R_2):
Calcular cada entrada de R_1 nova:
  • Primeira coluna: 1 - 6\cdot 0 = 1.
  • Segunda coluna: 6 - 6\cdot 1 = 0.
  • Terceira coluna: -8 - 6\cdot(-2) = -8 + 12 = 4.
  • Termo independente: 1 - 6\cdot\dfrac{1}{3} = 1 - 2 = -1.
Matriz na forma reduzida por linhas (RREF) para este sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 4 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -2 & \dfrac{1}{3} \end{array}\right].]

Passo 7

Ler as equações correspondentes à matriz reduzida:
  • Da primeira linha: x + 4z = -1.
  • Da segunda linha: y - 2z = \dfrac{1}{3}.
Aqui só temos pivôs nas colunas de x e y; a coluna de z não tem pivô → z é variável livre. Introduzir parâmetro para a variável livre:
Seja z=t, com t\in\mathbb{R}.
Resolver para x e y em termos de t:
x = -1 - 4z = -1 - 4t, \qquad y = \dfrac{1}{3} + 2z = \dfrac{1}{3} + 2t.

Passo 8

Escrever a solução geral parametrizada e apresentar também forma vetorial (útil em provas):
Solução em função de t:
(x,y,z)=\bigl(-1-4t,\\ \dfrac{1}{3}+2t,\\ t\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.
Forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]\dfrac{1}{3}\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-4\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Resposta

(x,y,z)=\bigl(-1-4t,\\ \dfrac{1}{3}+2t,\\ t\bigr),\\ t\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados