É pedido explicitamente usar o Método de Gauss-Jordan (reduzir a matriz aumentada à forma reduzida por linhas).
O objetivo final é encontrar todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem as duas equações simultaneamente.]
Passo 2
Montar a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação; a última coluna é o termo independente):
Explicando o Método de Gauss-Jordan (rápido, na prática):
Objetivo: transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (RREF), onde cada linha com pivô tem um 1 na posição do pivô e zeros em toda a coluna do pivô; assim lemos diretamente as incógnitas.
Operações permitidas (elementares): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar a um múltiplo de uma linha outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Estratégia: usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô para zerar abaixo; depois obter pivô 1 na segunda linha e zerar acima dele.
Passo 4
Zerar o elemento abaixo do primeiro pivô (usar R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1):
Calcular cada entrada de R_2:
Ler as equações correspondentes à matriz reduzida:
Da primeira linha: x + 4z = -1.
Da segunda linha: y - 2z = \dfrac{1}{3}.
Aqui só temos pivôs nas colunas de x e y; a coluna de z não tem pivô → z é variável livre. Introduzir parâmetro para a variável livre:
Seja z=t, com t\in\mathbb{R}.
Resolver para x e y em termos de t:
x = -1 - 4z = -1 - 4t, \qquad y = \dfrac{1}{3} + 2z = \dfrac{1}{3} + 2t.
Passo 8
Escrever a solução geral parametrizada e apresentar também forma vetorial (útil em provas):
Solução em função de t: