Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} w+x+2 y-z & =0 \\\\ -3 t+w-x-y+2 z & =0 \\\\ -w+x+y-2 z & =0 \\\ t+w+z & =0\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando o Método de Gauss-Jordan. As equações fornecidas são:
\begin{cases} w+x+2y-z=0\\\\ -3t+w-x-y+2z=0\\\\ -w+x+y-2z=0\\\ t+w+z=0 \end{cases}
Informações relevantes dadas:
\text{As incógnitas são }t,\;w,\;x,\;y,\;z.óã
\text{O sistema é homogêneo (lado direito igual a }0\text{ em todas as equações).}éêçõ
O objetivo é encontrar todas as soluções (t,w,x,y,z) usando Gauss-Jordan e apresentar a solução geral.

Passo 2

Rápida explicação do Método de Gauss-Jordan (aula curta):
  • Representa-se o sistema por uma matriz aumentada e aplica-se operações elementares nas linhas que não mudam o conjunto de soluções.
  • As operações permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula e somar a um múltiplo de uma linha outra linha.
  • O objetivo é transformar a matriz em forma reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo na sua coluna.
  • Quando a matriz estiver em RREF, lê‑se diretamente cada equação para obter as variáveis básicas em função das variáveis livres.
    Vou aplicar essas operações passo a passo, mostrando as matrizes intermediárias.

Passo 3

Montagem da matriz aumentada. Vou ordenar as colunas como (t,w,x,y,z). A matriz aumentada inicial é:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\\\ -3 & 1 & -1 & -1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right)

Passo 4

Primeiro pivô: escolho a coluna de t. A linha 4 tem 1 na coluna de t, então troco a linha 1 com a linha 4 para trazer o pivô para cima.
Operação: R_1 \leftrightarrow R_4.
Matriz resultante:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ -3 & 1 & -1 & -1 & 2 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)

Passo 5

Zerar entradas abaixo do pivô em coluna t.
Operação: R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1.
Matriz:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 4 & -1 & -1 & 5 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right)

Passo 6

Próximo pivô: coluna de w. Entre as linhas 2,3,4 há um 1 na linha 4; trago essa linha para a posição do pivô trocando R_2 e R_4.
Operação: R_2 \leftrightarrow R_4.
Matriz:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 4 & -1 & -1 & 5 & 0 \end{array}\right)
Agora zerei as outras entradas da coluna w usando R_2.
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
R_4 \leftarrow R_4 - 4R_2.
Matriz após essas operações:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -1 & -2 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 3 & -3 & 0\\\\ 0 & 0 & -5 & -9 & 9 & 0 \end{array}\right)

Passo 7

Próximo pivô: coluna de x. Na linha 3 o elemento é 2. Faço R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 para normalizar esse pivô.
Matriz:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & -1 & -2 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & -5 & -9 & 9 & 0 \end{array}\right)
Agora zero nas outras entradas da coluna x usando R_3.
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 + R_3.
R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
R_4 \leftarrow R_4 + 5R_3.
Matriz resultante:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{3}{2} & 0 \end{array}\right)

Passo 8

Próximo pivô: coluna de y. Na linha 4 o elemento é -\tfrac{3}{2}. Normalizo fazendo R_4 \leftarrow -\tfrac{2}{3}R_4 para obter pivô 1.
Matriz:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{3}{2} & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right)
Agora zerei as entradas acima na coluna y usando R_4.
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{2}R_4.
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_4.
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{2}R_4.
Matriz final em RREF:
\left(\begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right)

Passo 9

Lendo a RREF como equações (cada linha é uma equação):
\begin{aligned} t &= 0,\\\ w + z &= 0,\\\ x &= 0,\\\ y - z &= 0. \end{aligned}
A variável z aparece sem equação própria, portanto é uma variável livre. Denoto z=s com s\in\mathbb{R}. Substituindo:
t=0,\qquad w=-s,\qquad x=0,\qquad y=s,\qquad z=s.
A solução geral (paramétrica) é
(t,w,x,y,z)=s\,(0,-1,0,1,1),\qquad s\in\mathbb{R}.

Resposta

(t,w,x,y,z)=s\,(0,-1,0,1,1),\\ s\in\mathbb{R}

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