\text{O sistema é homogêneo (lado direito igual a }0\text{ em todas as equações).}éêçõ
O objetivo é encontrar todas as soluções (t,w,x,y,z) usando Gauss-Jordan e apresentar a solução geral.
Passo 2
Rápida explicação do Método de Gauss-Jordan (aula curta):
Representa-se o sistema por uma matriz aumentada e aplica-se operações elementares nas linhas que não mudam o conjunto de soluções.
As operações permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula e somar a um múltiplo de uma linha outra linha.
O objetivo é transformar a matriz em forma reduzida por linhas (RREF), onde cada pivô é 1 e é o único elemento não nulo na sua coluna.
Quando a matriz estiver em RREF, lê‑se diretamente cada equação para obter as variáveis básicas em função das variáveis livres.
Vou aplicar essas operações passo a passo, mostrando as matrizes intermediárias.
Passo 3
Montagem da matriz aumentada. Vou ordenar as colunas como (t,w,x,y,z). A matriz aumentada inicial é:
Primeiro pivô: escolho a coluna de t. A linha 4 tem 1 na coluna de t, então troco a linha 1 com a linha 4 para trazer o pivô para cima.
Operação: R_1 \leftrightarrow R_4.
Matriz resultante:
Próximo pivô: coluna de w. Entre as linhas 2,3,4 há um 1 na linha 4; trago essa linha para a posição do pivô trocando R_2 e R_4.
Operação: R_2 \leftrightarrow R_4.
Matriz:
Agora zerei as entradas acima na coluna y usando R_4.
Operações: R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{1}{2}R_4. R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{2}R_4. R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{2}R_4.
Matriz final em RREF: