Resolva os sistemas lineares dos exercícios indicados.
Exercício 28
2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=1
x_{1}+x_{3}=0
-x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1} + 3x_{2} - x_{3} = 1,\\\ x_{1} + x_{3} = 0,\\\\ -\,x_{1} + 2x_{2} - 2x_{3} = 0, \end{cases}
e pede (x_{1},x_{2},x_{3}). Vamos usar eliminação de Gauss, escolhendo a segunda equação como pivô para eliminar x_{1} das outras duas.

Passo 2

Da segunda equação temos
x_{1} + x_{3} = 0.
Eliminamos x_{1} na primeira e na terceira:
– Subtraindo 2 vezes a segunda da primeira:
(2x_{1}+3x_{2}-x_{3}) - 2(x_{1}+x_{3}) =3x_{2}-3x_{3}=1.
– Somando a segunda à terceira:
(-x_{1}+2x_{2}-2x_{3}) + (x_{1}+x_{3}) =2x_{2}-x_{3}=0.
Ficamos com o sistema em (x_{2},x_{3}):
\begin{cases} 3x_{2} - 3x_{3} = 1,\\\\ 2x_{2} - x_{3} = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação reduzida 2x_{2}-x_{3}=0 segue
x_{3}=2x_{2}.
Substituindo em 3x_{2}-3x_{3}=1
3x_{2}-3(2x_{2})=-3x_{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-\tfrac{1}{3},
e então
x_{3}=2\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=-\tfrac{2}{3}.

Passo 4

Voltando à equação pivô x_{1}+x_{3}=0, obtemos
x_{1}=-x_{3}=-\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{2}{3}.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\bigr).

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