Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan. \left\{\begin{array}{l}3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-1 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}=-4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo, usando eliminação de Gauss ou Gauss–Jordan. As equações fornecidas são:
Informações relevantes que temos: os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} em cada equação e os termos constantes à direita. O objetivo é encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema (colocando os coeficientes e a coluna dos termos constantes). A matriz aumentada é
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e a última coluna é o termo independente.]
Passo 3
Regra do jogo (operações elementares de linha): podemos somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas ou multiplicar uma linha por escalar não nulo. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. Vou usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna de x_{1}.
Vamos eliminar o coeficiente de x_{1} nas linhas 2 e 3 usando combinações com a linha 1.
Fator para zerar em R_2: \dfrac{2}{3}. Aplicamos R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{2}{3}R_1.
Cálculos linha a linha:
Agora já temos zeros abaixo do primeiro pivô, restam eliminar abaixo do pivô da segunda linha para triangularizar.]
Passo 5
Segundo pivô: a entrada \dfrac{5}{3} em R_2 na coluna de x_{2}. Para zerar a entrada em R_3 usamos o fator \dfrac{-\tfrac{10}{3}}{\tfrac{5}{3}}=-2. Ou seja, R_3 \leftarrow R_3 - (-2)R_2 = R_3 + 2R_2.