Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-1 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo, usando eliminação de Gauss ou Gauss–Jordan. As equações fornecidas são:
\begin{cases} 3x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-1,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}=1,\\[4pt] 2x_{1}-4x_{2}-2x_{3}=-4. \end{cases}
Informações relevantes que temos: os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} em cada equação e os termos constantes à direita. O objetivo é encontrar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema (colocando os coeficientes e a coluna dos termos constantes). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 2 & -4 & -2 & -4 \end{array}\right].
Explicação rápida: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e a última coluna é o termo independente.]

Passo 3

Regra do jogo (operações elementares de linha): podemos somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas ou multiplicar uma linha por escalar não nulo. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema. Vou usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna de x_{1}.
Vamos eliminar o coeficiente de x_{1} nas linhas 2 e 3 usando combinações com a linha 1.
Fator para zerar em R_2: \dfrac{2}{3}. Aplicamos R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{2}{3}R_1.
Cálculos linha a linha:
\begin{aligned} \text{Nova entrada }x_{1}:\\ &2 - \dfrac{2}{3}\cdot 3 = 0,\\[4pt] \text{Nova entrada }x_{2}:\\ &1 - \dfrac{2}{3}\cdot(-1)=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3},\\[4pt] \text{Nova entrada }x_{3}:\\ &0 - \dfrac{2}{3}\cdot 2 = -\dfrac{4}{3},\\[4pt] \text{Novo termo independente}:\\ &1 - \dfrac{2}{3}\cdot(-1)=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}. \end{aligned}
Fator para zerar em R_3: também \dfrac{2}{3}. Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{2}{3}R_1.
Cálculos:
\begin{aligned} \text{Nova entrada }x_{1}:\\ &2 - \dfrac{2}{3}\cdot 3 = 0,\\[4pt] \text{Nova entrada }x_{2}:\\ &-4 - \dfrac{2}{3}\cdot(-1)=-4+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{10}{3},\\[4pt] \text{Nova entrada }x_{3}:\\ &-2 - \dfrac{2}{3}\cdot 2 = -2 - \dfrac{4}{3}=-\dfrac{10}{3},\\[4pt] \text{Novo termo independente}:\\ &-4 - \dfrac{2}{3}\cdot(-1)=-4+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{10}{3}. \end{aligned}]

Passo 4

Após essas operações a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & \dfrac{5}{3} & -\dfrac{4}{3} & \dfrac{5}{3}\\[6pt] 0 & -\dfrac{10}{3} & -\dfrac{10}{3} & -\dfrac{10}{3} \end{array}\right].
Agora já temos zeros abaixo do primeiro pivô, restam eliminar abaixo do pivô da segunda linha para triangularizar.]

Passo 5

Segundo pivô: a entrada \dfrac{5}{3} em R_2 na coluna de x_{2}. Para zerar a entrada em R_3 usamos o fator \dfrac{-\tfrac{10}{3}}{\tfrac{5}{3}}=-2. Ou seja, R_3 \leftarrow R_3 - (-2)R_2 = R_3 + 2R_2.
Cálculos para R_3 + 2R_2:
\begin{aligned} \text{Entrada }x_{2}:\\ &-\dfrac{10}{3} + 2\cdot \dfrac{5}{3}= -\dfrac{10}{3} + \dfrac{10}{3}=0,\\[4pt] \text{Entrada }x_{3}:\\ &-\dfrac{10}{3} + 2\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)= -\dfrac{10}{3}-\dfrac{8}{3}= -\dfrac{18}{3}=-6,\\[4pt] \text{Termo independente}:\\ & -\dfrac{10}{3} + 2\cdot \dfrac{5}{3}= -\dfrac{10}{3}+\dfrac{10}{3}=0. \end{aligned}]

Passo 6

A matriz agora é triangular (zeros abaixo dos pivôs):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & \dfrac{5}{3} & -\dfrac{4}{3} & \dfrac{5}{3}\\[6pt] 0 & 0 & -6 & 0 \end{array}\right].
A terceira linha dá diretamente uma equação simples para x_{3}:
-6x_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=0.]

Passo 7

Com x_{3}=0, voltamos para a segunda linha para achar x_{2}. A segunda linha corresponde a
\dfrac{5}{3}x_{2}-\dfrac{4}{3}x_{3}=\dfrac{5}{3}.
Substituindo x_{3}=0 fica
\dfrac{5}{3}x_{2}=\dfrac{5}{3}\quad\Rightarrow\quad x_{2}=1.

Passo 8

Finalmente, usamos a primeira equação para obter x_{1}. A primeira equação é
3x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-1.
Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=0:
3x_{1}-1+0=-1 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=0.

Passo 9

Cheque rápido (substituir na equação original):
\begin{aligned} \text{(1) }&3\cdot 0 - 1 + 2\cdot 0 = -1 \quad\checkmark\\[4pt] \text{(2) }&2\cdot 0 + 1 = 1 \quad\checkmark\\[4pt] \text{(3) }&2\cdot 0 -4\cdot 1 -2\cdot 0 = -4 \quad\checkmark \end{aligned}
Tudo confere: solução correta.]

Resposta

x_{1}=0
x_{2}=1
x_{3}=0

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