A equação de uma elipse é
. Determine a equação da elipse na forma canônica, o seu centro, os seus vértices, os seus focos e a sua excentricidade.
Solução.
Completando os quadrados na equação de
, temos:
sendo esta última equação a forma canônica de
. Desta equação, obtemos que o centro da elipse é
e, portanto,
, ou seja,
.
A reta focal de
é
, paralela ao eixo
, e a reta não focal é
, paralela ao eixo-
.
Os focos da elipse são
e
; os vértices sobre a reta focal são
e
e os vértices sobre a reta não focal são
e
.
Finalmente, a excentricidade de
é
.
5. Equação do segundo grau com
e
Consideremos a equação da elipse
de centro no ponto
e reta focal paralela ao eixo
:
Desenvolvendo a equação acima, obtemos:
que é da forma
onde
e
.
Então,
e
e
têm o mesmo sinal. O mesmo vale para a equação da elipse com centro no ponto
e reta focal paralela ao eixo
.
Reciprocamente, temos:
Proposição 1
Se os coeficientes
e
da equação do segundo grau
têm o mesmo sinal, então a equação representa:
- uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados;
Os casos em que a equação do segundo grau
, com
, representa um ponto ou o conjunto vazio são denominados casos degenerados da elipse.
Exemplo 8
Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
(a)
.
Solução.
Como
, obtemos, dividindo por 225 , que a equação
representa uma elipse com:
-
e
;
- centro:
;
- reta focal:
eixo
;
- reta não focal:
;
- vértices sobre a reta focal:
e
;
- vértices sobre a reta não focal:
e
;
- focos:
e
.
(b)
.
Solução.
Completando os quadrados, obtemos:
Logo, a equação representa uma elipse com:
-
е
;
- centro:
;
- reta focal:
, paralela ao eixo-OX;
- reta não focal:
, paralela ao eixo-OY;
- vértices sobre a reta focal:
e
;
- vértices sobre a reta não focal:
e
;
- focos:
e
.
(c)
.
Solução.
Completando os quadrados, obtemos:
Assim, apenas o ponto
satisfaz à equação dada, isto é, a equação representa um ponto.
(d)
.
Solução.
Completando os quadrados, obtemos:
Como
, nenhum ponto do plano satisfaz à equação, isto é, a equação representa o conjunto vazio.
Completando os quadrados na equação de
A reta focal de
Finalmente, a excentricidade de
Então,
(a)
Como
(b)
Completando os quadrados, obtemos:
(c)
Completando os quadrados, obtemos:
(d)
Completando os quadrados, obtemos:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da curva
e pede que se determine:
- a forma canônica da elipse;
- o centro;
- os vértices;
- os focos;
- a excentricidade.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes de
e
são
e
, respectivamente, e há termos lineares
e
. Não há termo em
.
Passo 2
Objetivo deste passo: transformar a equação dada numa forma em que apareçam quadrados perfeitos (completar quadrados), o que permite passar para a forma canônica.
Primeiro, agrupo os termos em
e os termos em
:
Agora vou completar o quadrado em cada grupo. Lembrete prático: para completar o quadrado de
adiciona-se e subtrai-se
, pois
.
Para a parte em
:
. Então adiciono e subtraio
:
Para a parte em
: dentro do parêntese está
. Aqui
então
e
. Logo
Substituindo essas expressões na equação original:
Agora expandir os termos constantes e simplificar:
Isolando o lado direito:
Passo 3
Passo para obter a forma canônica padrão da elipse e identificar os parâmetros.
Divido ambos os lados por
para colocar no formato
:
Comparando com a forma padrão
vemos que:
- o centro é
; -
(denominador sob ); -
(denominador sob ).
Explicação sobre a escolha de
e
: por convenção toma-se
. Aqui
, então
e
. Isso mostra que o eixo maior (reta focal) é paralelo ao eixo
(horizontal), pois o termo com
está sobre a coordenada
.
Passo 4
Calcular
(distância focal) e localizar os focos.
Para uma elipse com eixo maior horizontal vale a relação
Substituindo
e
:
Como o eixo maior é horizontal e o centro é
, os focos ficam em
Passo 5
Determinar os vértices principais (majores) e os vértices secundários (menores).
Vértices sobre o eixo maior (horizontais) são
:
Vértices sobre o eixo menor (verticais) são
:
Passo 6
Calcular a excentricidade e comentar o significado.
A excentricidade de uma elipse é definida por
Substituindo
e
:
Observação: para elipse temos
; quanto maior
, mais “esticada” é a elipse.
Resposta
Centro:
Vértices principais (eixo maior):
Vértices secundários (eixo menor):
Focos:
Excentricidade: