A equação de uma elipse é \mathcal{E}: x^{2}+4 y^{2}+2 x-12 y+6=0. Determine a equação da elipse na forma canônica, o seu centro, os seus vértices, os seus focos e a sua excentricidade.
Solução.
Completando os quadrados na equação de \mathcal{E}, temos:
\begin{aligned} & \mathcal{E}:\left(x^{2}+2 x\right)+4\left(y^{2}-3 y\right)=-6 \\\ & \mathcal{E}:\left(x^{2}+2 x+1\right)+4\left(y^{2}-3 y+\frac{9}{4}\right)=-6+1+4 \times \frac{9}{4}=4 \\\ & \mathcal{E}:(x+1)^{2}+4\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=4 \\\ & \mathcal{E}: \frac{(x+1)^{2}}{4}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=1, \end{aligned}
sendo esta última equação a forma canônica de \mathcal{E}. Desta equação, obtemos que o centro da elipse é C=\left(-1, \frac{3}{2}\right), a=2, b=1 e, portanto, c^{2}=a^{2}-b^{2}=2^{2}-1^{2}=3, ou seja, c=\sqrt{3}.
A reta focal de \mathcal{E} é \ell: y=\frac{3}{2}, paralela ao eixo O X, e a reta não focal é \ell^{\prime}: x=-1, paralela ao eixo- O Y.
Os focos da elipse são F_{1}=\left(-1-\sqrt{3}, \frac{3}{2}\right) e F_{2}=\left(-1+\sqrt{3}, \frac{3}{2}\right); os vértices sobre a reta focal são A_{1}=\left(-1-2, \frac{3}{2}\right)=\left(-3, \frac{3}{2}\right) e A_{2}=\left(-1+2, \frac{3}{2}\right)= \left(1, \frac{3}{2}\right) e os vértices sobre a reta não focal são B_{1}=\left(-1, \frac{3}{2}-1\right)=\left(-1, \frac{1}{2}\right) e B_{2}=\left(-1, \frac{3}{2}+1\right)=\left(-1, \frac{5}{2}\right).
Finalmente, a excentricidade de \mathcal{E} é e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

5. Equação do segundo grau com B=0 e A C>0

Consideremos a equação da elipse \mathcal{E} de centro no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) e reta focal paralela ao eixo O X :
\mathcal{E}: \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}+\frac{\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}=1
Desenvolvendo a equação acima, obtemos:
b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}-2 b^{2} x_{0} x-2 a^{2} y_{0} y+b^{2} x_{0}^{2}+a^{2} y_{0}^{2}-a^{2} b^{2}=0
que é da forma
A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0,
onde A=b^{2}, B=0, C=a^{2}, D=-2 b^{2} x_{0}, E=-2 a^{2} y_{0} e F=b^{2} x_{0}^{2}+a^{2} y_{0}^{2}-a^{2} b^{2}.
Então, B=0 e A e C têm o mesmo sinal. O mesmo vale para a equação da elipse com centro no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) e reta focal paralela ao eixo O Y.
Reciprocamente, temos:

Proposição 1

Se os coeficientes A e C da equação do segundo grau
A x^{2}+C y^{2}+D x+E y+F=0
têm o mesmo sinal, então a equação representa:
  • uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados;
\frac{M}{4 A C C^{2}}<0
Os casos em que a equação do segundo grau A x^{2}+C y^{2}+D x+E y+F=0, com A C>0, representa um ponto ou o conjunto vazio são denominados casos degenerados da elipse.

Exemplo 8

Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
(a) 25 x^{2}+9 y^{2}-225=0.
Solução.
Como 25 x^{2}+9 y^{2}=225, obtemos, dividindo por 225 , que a equação \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1 representa uma elipse com:
  • a=5, b=3 e c=\sqrt{25-9}=4;
  • centro: C=(0,0);
  • reta focal: \ell= eixo -O Y: x=0;
  • reta não focal: \ell^{\prime}=e i x o-O X: y=0;
  • vértices sobre a reta focal: A_{1}=(0,-5) e A_{2}=(0,5);
  • vértices sobre a reta não focal: B_{1}=(-3,0) e B_{2}=(3,0);
  • focos: F_{1}=(0,-4) e F_{2}=(0,4).
    (b) 4 x^{2}+9 y^{2}-40 x+36 y+100=0.
Solução.
Completando os quadrados, obtemos:
\begin{array}{ll} & 4\left(x^{2}-10 x\right)+9\left(y^{2}+4 y\right)=-100 \\\ \Longleftrightarrow & 4\left(x^{2}-10 x+25\right)+9\left(y^{2}+4 y+4\right)=-100+4 \times 25+9 \times 4 \\\ \Longleftrightarrow & 4(x-5)^{2}+9(y+2)^{2}=36 \\\ \Longleftrightarrow & \frac{(x-5)^{2}}{9}+\frac{(y+2)^{2}}{4}=1 . \end{array}
Logo, a equação representa uma elipse com:
  • a=3, b=2 е c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5};
  • centro: C=(5,-2);
  • reta focal: \ell: y=-2, paralela ao eixo-OX;
  • reta não focal: \ell^{\prime}: x=5, paralela ao eixo-OY;
  • vértices sobre a reta focal: A_{1}=(2,-2) e A_{2}=(8,-2);
  • vértices sobre a reta não focal: B_{1}=(5,-4) e B_{2}=(5,0);
  • focos: F_{1}=(5-\sqrt{5},-2) e F_{2}=(5+\sqrt{5},-2).
    (c) 36 x^{2}+9 y^{2}-108 x+6 y+82=0.
Solução.
Completando os quadrados, obtemos:
\begin{array}{ll} & 36\left(x^{2}-3 x\right)+9\left(y^{2}+\frac{6}{9} y\right)=-82 \\\ \Longleftrightarrow & 36\left(x^{2}-3 x+\frac{9}{4}\right)+9\left(y^{2}+\frac{2}{3} y+\frac{1}{9}\right)=-82+36 \times \frac{9}{4}+9 \times \frac{1}{9} \\\ \Longleftrightarrow & 36\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+9\left(y+\frac{1}{3}\right)^{2}=-82+81+1 \\\ \Longleftrightarrow & 36\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+9\left(y+\frac{1}{3}\right)^{2}=0 \end{array}
Assim, apenas o ponto \left(\frac{3}{2},-\frac{1}{3}\right) satisfaz à equação dada, isto é, a equação representa um ponto.
(d) 9 x^{2}+4 y^{2}+18 x-9 y+25=0.
Solução.
Completando os quadrados, obtemos:
\begin{array}{ll} & 9\left(x^{2}+2 x\right)+4\left(y^{2}-\frac{9}{4} y\right)=-25 \\\ \Longleftrightarrow & 9\left(x^{2}+2 x+1\right)+4\left(y^{2}-\frac{9}{4} y+\frac{81}{64}\right)=-25+9 \times 1+4 \times \frac{81}{64} \\\ \Longleftrightarrow & 9(x+1)^{2}+4\left(y-\frac{9}{8}\right)^{2}=-16+\frac{81}{16}=-\frac{175}{16} . \end{array}
Como -\frac{175}{16}<0, nenhum ponto do plano satisfaz à equação, isto é, a equação representa o conjunto vazio.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da curva
x^{2}+4y^{2}+2x-12y+6=0
e pede que se determine:
  • a forma canônica da elipse;
  • o centro;
  • os vértices;
  • os focos;
  • a excentricidade.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes de x^{2} e y^{2} são 1 e 4, respectivamente, e há termos lineares 2x e -12y. Não há termo em xy.

Passo 2

Objetivo deste passo: transformar a equação dada numa forma em que apareçam quadrados perfeitos (completar quadrados), o que permite passar para a forma canônica.
Primeiro, agrupo os termos em x e os termos em y:
\left(x^{2}+2x\right)+4\left(y^{2}-3y\right)+6=0.
Agora vou completar o quadrado em cada grupo. Lembrete prático: para completar o quadrado de x^{2}+2px adiciona-se e subtrai-se p^{2}, pois x^{2}+2px+p^{2}=(x+p)^{2}.
Para a parte em x: x^{2}+2x = x^{2}+2\cdot1\cdot x. Então adiciono e subtraio 1^{2}=1:
x^{2}+2x = (x^{2}+2x+1)-1=(x+1)^{2}-1.
Para a parte em y: dentro do parêntese está y^{2}-3y. Aqui 2p=-3 então p=-\tfrac{3}{2} e p^{2}=\tfrac{9}{4}. Logo
y^{2}-3y = \left(y^{2}-3y+\tfrac{9}{4}\right)-\tfrac{9}{4}=\left(y-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-\tfrac{9}{4}.
Substituindo essas expressões na equação original:
\big((x+1)^{2}-1\big)+4\left(\left(y-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-\tfrac{9}{4}\right)+6=0.
Agora expandir os termos constantes e simplificar:
(x+1)^{2}-1 +4\left(y-\tfrac{3}{2}\right)^{2} -4\cdot\tfrac{9}{4} +6=0.
(x+1)^{2}+4\left(y-\tfrac{3}{2}\right)^{2} -1 -9 +6=0.
(x+1)^{2}+4\left(y-\tfrac{3}{2}\right)^{2} -4=0.
Isolando o lado direito:
(x+1)^{2}+4\left(y-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=4.

Passo 3

Passo para obter a forma canônica padrão da elipse e identificar os parâmetros.
Divido ambos os lados por 4 para colocar no formato \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1:
\frac{(x+1)^{2}}{4}+\left(y-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=1.
Comparando com a forma padrão
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1,
vemos que:
  • o centro é C=(h,k)=\big(-1,\tfrac{3}{2}\big);
  • a^{2}=4 (denominador sob (x+1)^{2});
  • b^{2}=1 (denominador sob (y-\tfrac{3}{2})^{2}).
Explicação sobre a escolha de a e b: por convenção toma-se a\ge b>0. Aqui a^{2}=4>b^{2}=1, então a=\sqrt{4}=2 e b=\sqrt{1}=1. Isso mostra que o eixo maior (reta focal) é paralelo ao eixo OX (horizontal), pois o termo com a^{2} está sobre a coordenada x.

Passo 4

Calcular c (distância focal) e localizar os focos.
Para uma elipse com eixo maior horizontal vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Substituindo a^{2}=4 e b^{2}=1:
c^{2}=4-1=3,\qquad c=\sqrt{3}.
Como o eixo maior é horizontal e o centro é \big(-1,\tfrac{3}{2}\big), os focos ficam em
F_{1}=\big(h-c,\;k\big)=\left(-1-\sqrt{3},\;\tfrac{3}{2}\right), \qquad F_{2}=\big(h+c,\;k\big)=\left(-1+\sqrt{3},\;\tfrac{3}{2}\right).

Passo 5

Determinar os vértices principais (majores) e os vértices secundários (menores).
Vértices sobre o eixo maior (horizontais) são (h\pm a,\;k):
A_{1}=(h-a,k)=(-1-2,\tfrac{3}{2})=(-3,\tfrac{3}{2}), \qquad A_{2}=(h+a,k)=(-1+2,\tfrac{3}{2})=(1,\tfrac{3}{2}).
Vértices sobre o eixo menor (verticais) são (h,\;k\pm b):
B_{1}=(h,k-b)=\left(-1,\tfrac{3}{2}-1\right)=\left(-1,\tfrac{1}{2}\right), \qquad B_{2}=(h,k+b)=\left(-1,\tfrac{3}{2}+1\right)=\left(-1,\tfrac{5}{2}\right).

Passo 6

Calcular a excentricidade e comentar o significado.
A excentricidade de uma elipse é definida por
e=\frac{c}{a}.
Substituindo c=\sqrt{3} e a=2:
e=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866\ldots
Observação: para elipse temos 0<e<1; quanto maior e, mais “esticada” é a elipse.

Resposta

\displaystyle \frac{(x+1)^{2}}{4}+\left(y-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=1
Centro: C=\left(-1,\tfrac{3}{2}\right)
a=2,\quad b=1,\quad c=\sqrt{3}
Vértices principais (eixo maior): A_{1}=\left(-3,\tfrac{3}{2}\right),\;A_{2}=\left(1,\tfrac{3}{2}\right)
Vértices secundários (eixo menor): B_{1}=\left(-1,\tfrac{1}{2}\right),\;B_{2}=\left(-1,\tfrac{5}{2}\right)
Focos: F_{1}=\left(-1-\sqrt{3},\tfrac{3}{2}\right),\;F_{2}=\left(-1+\sqrt{3},\tfrac{3}{2}\right)
Excentricidade: e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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